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质心教育原创物理竞赛模拟题第五套
满分160分 命题人 蔡子星
第一题（20分）
（1）如图4根轻杆之间铰接，左端铰接在墙上，0A 端挂有重物P 。

求出11,A B 端和墙之间的作用力。

（2）如图将上述结构复制n 份，铰接起来，分别挂有重物P ，/2P ，…，1
/2n P -。

求出当n 足
够大的时候，墙上两个端点与墙之间的相互作用力。

第二题（20分）
空间中有两层很薄的电荷，电荷密度为σ±，间距为h ，h 很小，叫做电偶极层。

一个电量为0q >，
质量为m 的点电荷，只能和电偶极层间发生静电相互作用（而不会碰撞）。

（1）粒子以速度0v ，角度θ，入射电偶极层，出射方向i 。

求出sin i 和sin θ之间的关系。

P
A 0
B 1
B 1
A
2
（2）将电偶极层弯成离心率为e 的双曲面形状，左边为正电荷，两个焦点沿着x 轴方向，要求所有平行于与x 轴方向入射的粒子都能汇交与焦点，则粒子速度，电偶极层厚度，电荷密度之间应当满足什么关系？ 第三题（20分）
空间中有沿着z 方向的磁场，磁场大小随着时间和空间变化，满足0cos()B B t kx ω=-。

一个桌面在0z =平面上，平面上有一个沿着x-y 方向正放的线框，线框边长为l ，总电阻为R 。

（1）假设线框相对于桌面静止，线圈的左端位于0x =的位置，求出线框中电动势随着时间的变化关系。

（2）若线框质量为m ，摩擦系数为μ，线框是否可能相对于桌面沿着x 方向做匀速直线运动？如果可能求出参数之间应当满足的条件，如果不可以，写明理由。

（以下不是考题：找到三个这样的线框，沿着x 轴发成一排，相邻两个之间用长度为'l 的绝缘木棒连接，问这三个线框是否可能一起做匀速直线运动，如果可以求出各参数应当满足条件，如果不可以写明理由。

）
第四题（20分）
一个金属球壳，半径为R ，质量为M ，带电量为Q ，初始时刻自由的静止在空间中。

球壳的一端有一个小洞。

球心与小洞的连线方向视为轴线方向。

在轴线上很远的地方有一个半径为r 的金属球，质量为m ，带电量为q ，以初速度0v 向着球心飞去。

（假设飞行速度很慢，电荷产生电场可以拿静电
σ
+σ
-h
v θ
x
y
x
y
3
力公式计算，金属球壳外表面导电性能良好，不考虑电磁辐射）
（1）求出当金属球进入球壳后达到球心时，金属球的速度为多少？
（2）金属球与球壳发生完全非弹性碰撞后连为一体，求整个过程中的发热Θ。

（以下不是试题：求出能够让金属球打入球壳所需的最小速度0v 。

仔细想哦。

答案得到
02()
kqQ m M v RmM
+≥
的同学回去面壁）
第五题（20分）
如图所示，一个信号源S 以恒定的速度u 向x 正方向运动。

信号在空中传播的速度为u 。

信号源本身的频率为0f 。

在地面上的静止的观察者P 所接受到的信号频率为f 。

在信号源的飞行轨迹上，O 点位最靠近P 的点。

以O 原点建立坐标系。

（改编自台湾物理竞赛试题）
（1）证明在信号源距离观察者足够远的时候，有0
cos 1f f v u
=
θ
-
人类的第一颗人造卫星绕地飞行的时候，地面上的观察者测量卫星发出的光信号频率。

纵轴为信号频率，单位为赫兹；横轴为测量时间，单位为分钟。

光速为82.99810/c m s =⨯。

（2）请由此图估算卫星相对于观察者的速度。

（3）请由此图估算卫星距离观察者的最近距离。

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第六题（18分）
一个质量为2m 的星体A 和质量为m 的星体B ，绕着它们的质心分别做圆周运动。

在质心系中观察发现体系总角动量为L （1）求体系的总能量0
E （2）A 发生爆炸成为两个质量为m 的星体1A ，2A ，爆炸瞬间体系总机械能增加了E ，之后经历复杂的三体运动（以下省略刘慈欣写的《三体》）最后1A 和B 相互环绕着飞行，2A 与二者远离。

已知这时候以1A 为参照系B 的角动量为0
L 以1A 和B 的质心为参照系，1A 和B 构成的系统的能量最小值min E 为多少？这会对E 有什么限制？
第七题（20分）
如图是两冲程柴油机的工作原理图。

为了计算方便我们把工作流程化简如下： 假设气缸绝热光滑，活塞自身质量可以忽略。

第一阶段，气缸体积达到最大为1 1.5V L =，将空气鼓入气缸，把部分废气赶出气缸，同时将雾化的燃料（视为1430C H ）喷入气缸中，此时缸内气压为1 2.00P atm =，温度为1350T K =，新注入的空气占体积比为80%。

第二阶段，气缸进行绝热压缩至最小体积20.25V L =，此时混合气体发生爆炸，恰好完全反应，已知这个温度和压强下，燃烧的焓变为6
4010/J kg λ=⨯，即在这个温度和压强下，如果保持温度和压强不变，则单位质量燃料燃烧放热为λ。

假设燃烧速度很快，燃烧结束的时候气缸体积几乎没有改
θ
S
v
P
5
变。

第三阶段，气缸绝热膨胀对外做功到最大体积1 1.5V L =，回到第一阶段。

为了简化计算，空气的成分视为79%的2N ，21%的2O （体积分数）
，各种气体的参数如下: 2
N 2
O 2H O
2
CO 摩尔质量
(g/mol)
28 32 18
44 定容摩尔热容量 (R)
2.5
2.5
3.0
2.5
假设满足理想气体状态方程，气体做绝热变化的时候满足pV C γ
=，其中V V
C R
C γ+=，V C 是定容摩耳热容量。

（1）为了使得恰好完全反应，每次应当喷入多少质量的燃料？
（2）求出压缩到最小体积，点燃前的温度2T ，以及排出废气的温度1'T 。

第八题（22分）
在SLAC 中，一种产生高能γ射线（高能光子）的方式是拿高能电子与可见光（低能光子）对撞。

高能电子的总能量为1.00GeV ，可见光的波长为550nm ， 可见光与电子动量方向相反。

电子的静质量为0.51MeV 。

电子与光子发生弹性碰撞，出射粒子仍然是一个电子一个光子。

普朗克常数 6.628h Js =，电子电量191.60210q C -=⨯，光速 2.998/c m s
=（1）若光子在沿着原电子方向出射，则出射光子波长为多少？碰撞后电子能量变为多少？
（2）若出射的光子方向与原电子方向有小角度偏差1θ=︒，则出射光子的频率和第一问中频率的
比值为多少？
6
1.00
E GeV
=550nm
λ=。