图 1 电液伺服式疲劳试验机结构和模型
求系统的稳态解，即以上微分方程组的特解，得 到系统各单元的运动表达式：
X0
=
k1k2 k3 D
F0sinωt
( ) X1 =
−m0ω 2 + k0 + k1 D
k2k3 F0sinωt
(( )) X2
⎡ ⎢ = ⎢⎣
−m0ω 2 + k0 + k1 −m1ω 2 + k1 + k2
试验机力传感器与试样间的动态力值误差按下式 计算：
Fδ
=
k0 X0 − k2 ( X 2 − X1 ) k2 ( X2 − X1 )
=
k2
(
k0 X 0 X2 −
X
1
)
−
1
( )( ) =
k0 k1
−1
−m0ω 2 + k0 + k1 −m1ω 2 + k1 − k12
（3）
= m1ω 2
⎡ ⎢
−m0ω
收稿日期：2012-07-03；修回日期：2012-07-10 作者简介：胡刚（1972-），男，副研究员。研究方向：力值计量。
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重庆计量校准：ｗｗｗ．ｃｑｓｔｙｑ．ｃｏｍ
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的不确定度提供技术保证。
1 单轴疲劳试验机的模型和振动分析 疲劳试验机是一个复杂的多自由度系统。不同结
动态力值误差/(%)
激振力
k′0 砝码组
m′0
x′0
k′1
试样
m′1
x′1
k′2 力传感器
m′2
x′2
图 3 电磁谐振式疲劳试验机结构和模型
工作频率 ω0 是系统特征方程的解。砝码组质量的 变化可以显著改变系统的工作频率。试验机力传感器 与试样间的动态力值误差按下式计算：
Fδ′
=
k2′
(
X 2′
− X1′) − k1′ ( X1′ k1′ ( X1′ − X0′ )
0.30
m1=10kg
0.20
m1=50kg
0.10
0.00 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 频率/Hz (a) 动态力值误差与质量 m1 的关系 （k1=1.2×109 N/m）
0.50
0.40
k1=4.0×108N/m k1=8.0×108N/m
0.30
者刚性连接。按照三自由度质量—弹簧系统自由振动
的模型建立系统的微分方程组见式（4）：
m0′ x0′ + k0′x0′ + k1′ ( x0′ − x1′) = 0
m1′x1′ + k1′ ( x1′ − x0′ ) + k2′ ( x1′ − x2′ ) = 0 m2′ x2′ + k2′ ( x2′ − x1′) = 0
构和类型的疲劳试验机的模型可能各不相同，需要具 体分析[5-7]。本文以目前应用较为广泛的电液伺服式和 电磁谐振式两类单轴疲劳试验机的典型结构为例，进 行振动分析。在进行系统建模和振动分析时，作如下 假设：
1）忽略系统各部分的阻尼； 2）试验机的力传感器、试样受到的力值与各自的 机械变形是线性关系的； 3）只对试验机的上横梁到基座之间的部分进行建 模和分析，忽略系统其他部分的影响； 4）只研究试验机的力传感器、试样受到的力值幅 值间的关系，不考虑两者间的相位差。 1.1 电液伺服式疲劳试验机模型（模型 1） 图 1 为电液伺服式疲劳试验机的结构和模型。试 验机力传感器固定在上横梁的下端，试样通过上下液 压夹具安装到试验机上，作动器施加的循环负荷作用 到试样上，力传感器对循环负荷进行测量和显示。系 统的运动微分方程组如下：
D
⎤
−
k12
⎥ ⎥⎦
k3
F0sinωt
( ) −m0ω2 + k0 + k1
⎡
( ) ⎢
−m1ω 2
+ k1 + k2
⎤ ⎥−
( ) ⎢⎣ −m2ω2 + k2 + k3 + k22 ⎥⎦
( ) X3 = k12
−m2ω 2 + k2 + k3 D
F0sinωt
（2）
式中，Xi 分别为 xi 的特解，i=0, 1, 2, 3；D 为系统 对应的代数方程组的系数行列式。
k1=1.2×109N/m
0.20
k1=1.6×109N/m k1=2.0×109N/m
0.10
0.00 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 频率/Hz (b) 动态力值误差与刚度 k1 的关系 （m1=20kg）
图 2 电液伺服式疲劳试验机力值误差的影响因素
Abstract: On the basis of the vibration analysis of mechanics model, the analytic expression formula of two kinds of dynamic force inaccuracy for monospindle fatigue machine as the electrohydraulic servo type and the electromagnetism resonance. A series of comparative tests are done by calibrating equipment consisting of the force sensor with resistance strain type and the dynamic strain collecting system. The theoretical analysis and comparative test results show that with the raise of equivalent mass, the absolute value of dynamic force inaccuracy raises. On the other hand, with the decrease of equivalent stiffness, the absolute value rises as well. There are various ways to modify dynamic force inaccuracy. The paper compares several main modified formulas. In addition, some suggestions are put forward to raise dynamic force accuracy of calibrating fatigue testing machine and shorten uncertainty of measuring results. Key words: dynamic force calibration; vibration analysis; monospindle fatigue machine; dynamic force inaccuracy modification; equivalent mass and stiffness
HU Gang, YANG Zong-ying
(1. National Institute of Metrology P. R. China, Beijing 100013, China; 2. Beijing Aeronautical Materials Institute, Beijing 100095, China)
−
X 0′
)
=
k2′
⎛ ⎜ ⎝
X
′
2
X
′
1
−1⎞⎟ ⎠
k1′
⎛ ⎜1
−
⎝
X 0′ X1′
⎞ ⎟ ⎠
−1 =
−
m1′ω 2 k1′
⎡⎢1 + ⎢ ⎢⎣
⎛ ⎜− ⎝
1
m0′ω 2 k1′
+
k0′ k1′
⎤（5）
⎞ ⎟ ⎠
⎥ ⎥ ⎥⎦
假设试验机砝码组质量 m′0=10kg、刚度 k′0=1.0× 109 N/m，则动态力值误差随系统工作频率ω、质量m′1、 刚度 k′1 变化的规律见图 4 所示。通常，电磁谐振式疲 劳试验机的工作频率不大于 500Hz。从图 4 可以看出， 动态力值误差的绝对值随质量 m′1 的增加而增大；随 刚度 k′1 的减小而增大。
（4）
式中，m′, k′, x′分别为系统中各单元的质量、刚度、
位移。下标 0、1、2 分别表示砝码组、试样、力传感
器。
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动态力值误差/(%)
0.70
0.60
m1=10kg
0.50
m1=20kg
0.40
m1=30kg
疲劳试验机是用于对试件施加周期力值或随机力 值，测量其疲劳极限和疲劳寿命等性能指标的材料试 验机。多年的统计分析显示，汽车零部件的破坏中 85% 是由疲劳引起的，航空工程有 60%~80%的断裂是由结 构材料的疲劳破坏引起的[1]。因此，疲劳试验、疲劳 试验机的校准在工业和制造业等领域中具有非常重要 的意义。
2
⎣
+
k0
+
⎜⎛1 + ⎝
m0 m1
⎞ ⎟ k1 ⎠
⎤ ⎥ ⎦
( ) k1
⎡ ⎢ ⎣
−m0ω 2 + k0
⎛ ⎜1 ⎝
−
m1 k1
ω
2
⎞ ⎟ ⎠