2019.6.7上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞，则A B =I 。

2. 已知z ∈C ，且满足1i 5z =-，求z = 。

3. 已知向量(1,0,2)a =r ，(2,1,0)b =r，则a r 与b r 的夹角为 。

4. 已知二项式5(21)x +，则展开式中含2x 项的系数为 。

5. 已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求23z x y =-的最小值为 。

6. 已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，2()log f x x =，则3()2f = 。

7. 若,x y +∈R ，且123y x +=，则yx的最大值为 。

8. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S = 。

9. 过曲线24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，则λ= 。

10. 某三位数密码，每位数字可在0-9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有 两位数字相同的概率是 。

11. 已知数列{}n a 满足1n n a a +<（*n ∈N ），若(,)n n P n a (3)n ≥均在双曲线22162x y -=上， 则1lim ||n n n P P +→∞= 。

12. 已知2()||1f x a x =--（1x >，0a >），()f x 与x 轴交点为A ，若对于()f x 图像 上任意一点P ，在其图像上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ），满足AP AQ ⊥，且||||AP AQ =，则a = 。

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知直线方程20x y c -+=的一个方向向量d u r可以是（ ）A. (2,1)-B. (2,1)C. (1,2)-D. (1,2)14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 815. 已知ω∈R ，函数2()(6)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a ∈R ，使得()f x a +为偶函数， 则ω的值可能为（ ） A.2π B. 3π C. 4πD. 5π16. 已知tan tan tan()αβαβ⋅=+，有下列两个结论：① 存在α在第一象限，β在第三象限；② 存在α在第二象限，β在第四象限；则（ ）A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①对②错D. ①错②对三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，3CD =，4AD =，15AA =.（1）求直线1AC 与平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面1A MC 的距离.18. 已知1()1f x ax x =++，a ∈R . （1）当1a =时，求不等式()1(1)f x f x +<+的解集； （2）若()f x 在[1,2]x ∈时有零点，求a 的取值范围.19. 如图，A B C --为海岸线，AB 为线段，»BC为四分之一圆弧，39.2BD =km ，22BDC ︒∠=，68CBD ︒∠=，58BDA ︒∠=. （1）求»BC的长度； （2）若40AB =km ，求D 到海岸线A B C --的最短距离. （精确到0.001km ）20. 已知椭圆22184x y +=，1F 、2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、B 两点.（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；（2）当190F AB ︒∠=时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S =V V ， 若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.21. 数列{}n a ()n ∈*N 有100项，1a a =，对任意[2,100]n ∈，存在n i a a d =+，[1,1]i n ∈-，若k a 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P .（1）若11a =，2d =，求4a 所有可能的值；（2）若{}n a 不是等差数列，求证：数列{}n a 中存在某些项具有性质P ；（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为c ，请用a 、d 、c 表示12100a a a ++⋅⋅⋅+.参考答案一、填空题1、(2,3)2、5i -3、2arccos 54、405、6-6、1-7、98（提示：132y x =+≥，∴298y x ≤=） 8、31169、3 10、27100（分析：211103232710100C C C P ⋅⋅==，选用到的两个数字×选用一次的数字的位置×选用一次的数字）11（解析：法一，由条件有22182na n -=，得n a =1||n n P P +==1lim ||n n n P P +→∞=；） （解析：法二（极限法），当n →∞时，1n n P P +与渐近线平行，1n n P P +在x 轴投影为1，渐近线斜角θ满足：tan θ=11lim ||cos6n n n P P π+→∞==12、a =2()||=01f x a x =--，解得21x a =+，则21,0A a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，取11,P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则：1,AP a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为A P Q 、、满足AP AQ ⊥，且||||AP AQ =，则1,AQ a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以211,Q a a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Q 点在2()||1f x a x =--图像上，则21211a a a a-=++-，得221||2a a a a -=+，2212a a a a-=+，()()22120a a +-=，所以22a =，a =二. 选择题13、D 14.、B15、C （分析：2()(6)sin[()]f x a x a x a ω+=+-⋅+，因为()f x a +为偶函数，所以6a =，且sin[(6)]x ω+也为偶函数，所以62k πωπ=+，当1k =时，4πω=）16、D （分析：特殊值验证，取tan 1α=-，则tan 12β=-±，所以② 正确，再取几组验证，① 错）三、解答题 17、（1）4π；（2）103.【解析】（1）连接AC ，1AA ABCD ⊥面，则1ACA ∠即为直线1AC 与平面ABCD 的夹角。

在1Rt ACA V 中，15AA AC ==，则14ACA π∠=；（2）法一，等体积法：11C AA M A A MC V V --=，111133AA M A MC BC S d S ∆∆⨯=⨯有条件易得：1111154,35,32,52,2522AA MBC S A M AC MC ∆==⨯⨯==== ∴ )))22213252254cos 523252CA M +-∠==⨯⨯，13sin 5CA M ∠= ∴ 1111113=sin 32529225A MC S A M AC CA M ∆⨯⨯∠=⨯⨯⨯= ∴ 15104923d =⨯÷=。

法二，建立空间直角坐标系A xyz -， ()()()()110,0,5,3,0,2,0,0,5,3,4,0A A M A C =u u u r()()113,0,3, 3.4,5AM AC =-=-u u u u r u u u r 设()1,,n x y z AMC =⊥r面，则 110A M n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r ，得3303450x z x y z -=⎧⎨+-=⎩ 令1x =，则1121x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，11,,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r所以151031114n AA d n⋅===++r u u u r r。

x yz18、（1）(2,1)x ∈--；（2）11[,]26a ∈--. 【解析】（1）当1a =时，1()1f x x x =++，则()1(1)f x f x +<+得：111112x x x x ++<++++，化简：()()1012x x <++，解得(2,1)x ∈--； （2）由条件知，对[1,2]x ∈，1()01f x ax x =+=+有零点，则1(1)a x x -=+在[1,2]x ∈时有解；1(1)x x -+在[1,2]x ∈单调递增，则111,(1)26x x -⎡⎤∈--⎢⎥+⎣⎦。

19、（1）»16.310BC = km ；（2）35.752km.【解析】（1）∠BCD=180°-22°-68°=90°，则：»22sin 2216.3102224BCR BC BD πππ︒==⋅=⋅⋅≈ km ； （2）作DH ⊥AB 于点H ，在△ABD 中，sin sin BD AB BAD BDA =∠∠，即39.240sin sin58BAD ︒=∠ ∴56.21058BAD ︒∠≈，则1805856.2105865.78942ABD ︒︒︒︒∠=--= ∴sin 39.2sin65.7894235.752DH BD ABD ︒=⋅∠=⨯≈km 由（1）知：sin6836.346DC BD ︒=⋅≈ km所以D 到海岸线A B C --的最短距离为35.752 km 。

20.（1）22；（2）(0,2)A ，82(,)33B -；（3）320x y ±-=.【解析】（1）222222b AB a === （2）由条件有：12(2,0),(2,0)F F -，设直线方程：(2)y k x =-。

1122(,),(,)A x y B x y ，10y >当190F AB ︒∠=时，120F A F A ⋅=u u u r u u u r，得：()()11112,2,0x y x y +⋅-=，化简：22114x y +=……① ，因为A 在椭圆上，所以2211184x y +=……②联立① 、② 式，解得：1102x y =⎧⎨=⎩，即(0,2)A ，所以，直线方程为：2y x =-联立222184y xx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2380x x -=，则283x =，223y =-，即82,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭。