4.1.3 开方法解方程
中国古代把解二次方程x2 + bx = c 的方法称作“带从开方”；把解三次方 程x3 + bx2 + cx=d的方法称作“带从 开立方”。 北宋数学家刘益（公元11~12世纪人） 使用“增乘开方法”求解一元高次方程。
如，使用“增乘开方法”解 －x2 +60x = 864. 列三行横式 －1 60 864 补零（前移一位， －100 600 864 （2 说明商为二位数）， 首商得2，增乘一次 －200 －800 —100 400 64 －200 再增乘一次， －100 200 64 去零（后移一位）， －1 20 64 （4 次商得4，增乘一次 4 _－64 －1 16 0 恰好减尽。故得方程根 x=24。
《大术》中解四次方程的费拉利解法。 设方程 x4+bx3+cx2+dx+e=0。 移项后得 x4+bx3=—cx2—dx—e。 在左边加上（bx）2配成平方。得 （x2+bx）2=（b2—c2）x2—dx—e。 两边再加上（x2+bx）y+y2，得 （x2+bx）2+（x2+bx）y+y2 =（b2—c+y）x2+（by—d）x+y2—e。 （1） 若使右边这个x的二次式的判别式等于零，就能使这一边成为x 的一次式的完全平方。于是设 （by—d）2—4（b2—c+y）（y2—e）=0 （ 2） 这是y的一个三次方程。选取这个三次方程的任一个根代入替（1） 中的y。根据左边也是个完全平方这一事实,取平方根，得到x的 一个二次式，它等于x的两个互为正负的线性函数之一。解出这 两个二次方程便得到x的4个根。若从（2）中选取另一个根就会 从（1）引出一个不同的方程，但会得到同样的四个根。
0 0 1 1 0 0 0
0 －6 太 (1) 1 1 0
1 －5 太 1
(2)
0 （4）下移一位，得
(4)×x,得
0 －1 0 0
0 － 6太 5 － 6 0 0
0
5 －1 1
太 －3;x3y=0 （ 6） (6) 即(－6－6x)+(5x+x3)y=0 0 0
这样就化为只含天、地二元的两行方程。 （2）与（6）互隐通分相消： 由（2）（6）消去y: 由内二行相乘，得 由（－5+x）(5x+x3) 太 =－25x+5x2-5x3+x4 (7) －25 ( 用(2)的右列乘上(6)的 5 （ 7） 左列，称为内二行相乘） －5 1 由外二行相乘，得 由（1+x）(－6－6x) － 6太 =－6－12x－6x2 (8)
4.2.4 天元术与四元术
天元术——一元高次方程的筹式布列方法
如方程：－2x2+654x=0 与 －x4+15245x2－ 6262506.25=0,图4.7 用天元术在筹图中布列 方程 在筹算中表示为：
用现代数字表示，这两个方程改写为：
6 5 4元 5
0 4 5 0 1 太 —2
－6 2 6 2 5 0 6 2
4.2.5方程的公式解
大术》（卡当，1545年）中记载了缺二次项的三次方程的解法： 求解方程 x3+mx=n，其中m与n是正数。 卡当引入t与u两个参数量，并令 t—u=n， （ 1） 以及 （tu）=（）3 . （2） 然后他断言 x= . （3） 他利用（1）及（2）进行消元并解所得的二次方程，得出 t = + ， u = —. 这里我们也像卡当那样取正根。求出了t和u后,并用（3）给出x的 一个值
在花拉子米系统地研究了六种类型的 一次和二次方程及其解法， ax2 = bx， ax2 = c，ax = c，ax2 + cx = c， ax2 + c = bx，bx + c = ax2 对于前三种类型方程，花拉子米把方 程ax2 = bx看作线性方程，抛弃了零根， 对于后三种类型方程，花拉子米的解法相 当于现在的配方法。花拉子米首先叙述了 用根号表示方程根的法则，然后给出它的 几何证明。 花拉子米实际上已经给出了首项系数 为1的一元二次方程的求根公式。
4.1.4 几何方法解方程
开平方口诀（“开平方不用慌，20倍前商 加后商”）的几 何推导方法
图4.4 面积法开平方 由于面积55225值是一个万位数，可以估计出它的边長是个三位数，令其 边长是三位数。 (100 a+ 10 b+ c)2 = 55225. 为此，先估计a = 2，如图4.4，于是在AB上截取AE = 200, 以A为一边做 正放形AEFG, 从正方形ABCD中减去它，得“曲尺形”EBCDGF 的面积： 55225 — 40000 = 15225。 为估计b，用EF 的2倍（定法）去试除这个余数，得b = 3。 在EB 上截取 EH = 30，以AH为一边再作正方形AHIJ。从图上可知： 矩形FH的面积 = 矩形FJ的面积=30×EF =300×200. 正方形的 FI的面积=302。 因此，从正方形ABCD减去正方形AHIJ所余的更 细的“曲尺形”的面积为 15225 —（2×30×200 +302）= 2325。 最后估计个位数，用HI＝230的2倍去试除这个 余数，得c＝5。在HB上截取HK＝5,再以AK为一 边做正方形AKLM ，从正方形ABCD减去它，得 2325 —（2×5×230 + 52）= 0。 即K与B重合，AB之长恰好为235，此即所求的 平方根：2352 = 55225。
在“方程章”问题的解法中还可以发现下 述方程变形的性质： 如果方程的两边都加上（或减去）同一数， 那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方 程两边同乘以（或除以）一个不等于零的数， 那么所得的方程和原方程是同解方程。 刘徽：“程，课程也。群物总杂，各列有 数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三 物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之 方程。”法。
对于更多复杂的方程，其 系数在算筹中的放置方法， 如图4.10。 图 4.10 四 元方程的筹算布列方法 “四元术”给出了 在筹图上求解多元方程的 方法——消元法 如，两个多项式相加减， 只须将表示多项式的筹式 中的“太”的位置对齐， 将对应元素相加减； 用某元的幂乘方程时，只 须将原方程的筹式做平移； “互隐通分相消”的操作 过程较为复杂，是将二元 的方程化为一元方程的关 键方法，也是“四元术” 最为精彩的一部分。我们 将通过实例说明它的具体 使用方法。
4.1早期的方程求解方法
4.1.1 配方法与数表法 古巴比伦的第13901号泥版，记述了这样 一个问题： “把正方形的面积加上正方形边长的三分 之二得35/60①，求该正方形的边长。”
x
p / 2
2
q p/2
图4.1 普林顿322号泥版 这个问题相当于求解方程 x2+（2/3） x=35/60。古巴比伦人的解法则相当于将方程 x2 + px = q的系数代入公式
和
1 5 2
4.2.4 b 四元术
“四元术”则规定了含有两个、三个或 四个未知数的方程的布列方法。 未知数设为 “天”、“地”、“人”、 “物”，就相当于现在的x、y、z、ω， 用“太”表示常数项，放于筹式的中心； 表示未知数的天、地、人、物的系数分 别放在“太”的下方、左方、右方和上 方。 例如，方程 3x + 2y +3z + 4w +5 = 0的布列方法是： 4 2 太5 3
4.2.3 印度的代数学
从公元5世纪到12世纪，印度数学对 世界数学的影响较大的有两个方面。 最先制定了现在世界上通用的数码 及记数制度，并在这个基础上形成了整 套计算技术。 另一方面是建立了包括分数、负数、 无理数的代数学，并给出了二次方程的 一般解法。他们认识到二次方程有两个 根，而且可以包括负根和无理根。
4.2.6走出缩记法
法国数学家韦达寻找出一种求解各种类型代数方程的通用方 法过程中，第一个有意识地、系统地使用了字母。 通常他用辅音字母来表示已知量，用元音字母表示未知量。 韦用拉丁语表示各次方幂。例如，现在的a, a2, a3，韦达记作 A,A quadratum,A cubum,，有时还缩写减化为A，AQ，AC。韦达 使用了“+”和“—”分别表示加法与减法，但没有使用固定符号来 表示乘号和等号，仍然用文字来说明。如恒等式 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a+b)3, 韦达的写法是 a cubum + b in a quadr.3 + a in b quadr.3 + b cubo equaliacubum. “类的算术”（Iogistica speciosa）,以区别于“数的算术” （Iogistica numerosa）, 类的算术是施行于事物的类或形式的运算，而数的算术仅仅 与具体的数字有关。韦达的这些论述，第一次将代数与算术区分 开来，使类的算术（即代数）成为研究一般类型的数学形式和方 法的学问。 在引入字母符号之后,韦达就发现了三、四方程一般解的方法。
古巴比伦人还讨论了某些三次方程和双二次方程 的解法，这些解法则记录在一些数表上。
图4。1普林顿第322号泥版——勾股数表
4.1.2《九章算术》的“方程术”
《九章算术》中的“方程章”，是世 界上最早的系统研究代数方程的专门论 著。它在世界数学历史上，最早创立了 多元一次方程组的筹式表示方法，以及 它的多种求解方法。 《九章算术》把这些线性方程组的解 法称为“方程术”，其实质相当于现今 的矩阵变形方法。方程术是通过对方程 的系数矩阵实施遍乘、直除的变换（即 连续相减）实现减元、获取方程解的过 程。
古希腊尺规作图方法求解一次和二次方程
一次方程ax=b，x是a、b、1的第四比例项：a∶b=1∶x， 因而可以用尺规作图的方法求得x图4.5解方程x2－ px+q2=0的几何方法 假如r和s表示二次方程x2－px+q2=0的两个根，其中p和q 是正整数，且q≤p/2（这后一个条件，保证r和s都为正 数）。用几何方法求解这个方程的根，就等价于由给定线 段P和q求出线段r和s。用现代数学中的韦达定理可知 r+s=p，rs=q2。于是相应的几何方法可以是： 作一个正方形，使它的面积等于给 定的正方形，而它的相邻两边的乘 积等于给定的一个线段长。为此， 可由图4.5得到上述的方程几何求 解方法。