北
B P
20． （本小题满分 16 分） 已知 q 为常数，正项 数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＋(an－Sn)q＝1，n∈N*． ．．
l1
A
（第 17 题）

（1）求证：数列{an}为等比数列；
O
（2）若 q∈N*，且存在 t∈N*，使得 3at＋2－4at＋1 为数列{an}中的项． ① 求 q 的值； ② 记 bn＝loga an＋2，求证：存在无穷多组正整数数组(r，s，k)，使得 br，bs，bk 成等比数
AM 平面 AB1M ∴ BP AM 直四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中, BB1 平面 ABCD AM 平面 ABCD ∴ BB1 AM
又 BP BB1 B
BP, BB1 平面 BB1C1C
C．[选修 45：不等式选讲] （本小题满分 10 分） 已知 x＞0，求证：x3＋y2＋3≥3x＋2y．
数学Ⅱ（附加题）第 1页 （共 4 页）
数学Ⅱ（附加题）第 2页 （共 4 页）
（2）过 B 作 BP B1M ,垂足为 P
江苏省海门中学 2019 年期初数学学科调研测试试卷
平面 AB1M 平面B1 BCC1 平面 AB1M 平面B1 BCC1 B1M
B．[选修 44：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是曲线 E: {x＝cosθ， y＝2＋2cosθ（θ为参数）上的一
（2）当 m＝2019 时，求{an}的通项公式，并求数列{an}的最大项．
点．以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以 C 为圆心的圆的极坐标方程为ρ＝ 2cosθ，求线段 PC 长的最大值．
数学 II（附加题）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共 2 页，均为解答题（第 21~23 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分 钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3． 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置， 在其它 位置作答一律无效。如有作图需要，用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 21． 【选做题】本题包括 A、B、C 共 3 小题，请 选定其中两小题 ，并在相应的答题区域内作答 ． ． ．．．．．．． ．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． A．[选修 42：矩阵与变换] （本小题满分 10 分） 已知 m∈R，矩阵 A＝ （1）求实数 m； （2）求矩阵 A 的逆矩阵 A ．
函数 f(x)＝a·ex－e x 在 x＝0 处的切线与直线 y＝2x－3 平行，则不等式 f(x2－1)＋f(1－x)＜0 的解集为 ▲ ． ▲ ． ▲ ．
10. 首项为 7 的数列{an}满足：(n＋1)an＋1－(n＋2)an＝0，则 a2019－a2018 的值为
→→ 11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝2，AD＝1， AB · AC ＝5，则 cos∠CAB＝
13.3 2
14. 2＋ 3 5
15.（1）因为 cosB＝－ 5 ，B∈(0，π)， 5 2 所以 sinB＝ 1－cos B＝ 1－(－ 5)2＝2 5． 5 5 在三角形 ABC 中， sinA＝sin(π－(B＋C))＝sin(B＋C)＝sin(B＋π)＝sinBcosπ＋cosBsinπ． 4 4 4 2 5 2 5 2 10 故 sinA＝ × ＋(－ )× ＝ ． 5 2 5 2 10 8× 10 AC BC AC ·sin A 由正弦定理知 ＝ ，所以 BC＝ ＝ 10 ＝2 2. sinB sinA sinB 2 5 5 （2）在三角形 ABC 中， cosA＝cos(π－(B＋C))＝－cos(B＋π)＝－cosBcosπ＋sinBsinπ， 4 4 4 故 cosA＝ 5× 2＋2 5× 2＝3 10． 5 2 5 2 10 2 3 10 因为 cos2A＝2cos A－1＝2( )2－1＝4, 10 5 3 10 10 3 sin2A＝2sinAcosA＝2× × ＝ ， 10 10 5 因此 cos(2A＋π)＝cos2Acosπ－sin2Asinπ＝4× 2－3× 2＝ 2． 4 4 4 5 2 5 2 10 16．证明： （1）连接 A1 B 交 AB1 于 N ∵直四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中， AA1 B1 B 为平行四边形 ∴ N 为 A1 B 的中点 又 M 为 BC 中点 ∴ MN // A1C
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题～第 14 题，共 14 题) 、解答题(第 15 题～第 20 题，共 6 题)两部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后，只要将答题卡交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上，并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮 擦干净后，再正确涂写。 3．答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。 4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 参考公式： 1．锥体的体积公式为：V＝1Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高； 3 n － － 2 2．一组数据 x1，x2，…，xn 的方差为： s ＝1 ∑ (xi－ x )2，其中 x 是数据 x1，x2，…，xn 的 i＝1 n 平均数． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上 ． ．．．．．．．． 1．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则 A∩B＝ 2．已知复数 z 满足(1－i)z＝3＋i(i 为虚数单位)，则 z＝ 3. 一组数据 96， 98， 100，102， 104 的方差为 ▲ ▲ . ▲ ． ▲ ． ．
l2
东
（第 18 题）
19． （本小题满分 16 分） 已知函数 f(x)＝lnx＋m（m∈R）的极大值为 1． x （1）求 m 的值； （2）设函数 g(x)＝x＋1，当 x0＞1 时，试比较 f(x0)与 g(x0)的大小，并说明理由； ex （3）若 b≥ 2 ，证明：对于任意 k＜0，直线 y＝kx＋b 与曲线 y＝f(x)有唯一公共点． e
2 2
圆交于 A，B 两点．当直线 l⊥x 轴时，AB＝1． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若点 P 在 y 轴上，且ΔPAB 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 AB 的方程．
（第 16 题）
17.（本小题满分 14 分） 如图，l1 是经过城市 O 与城郊小镇 A 的东西方向公路，城市 O 与小镇 A 相距 8 3km，l2 是经过 城市 O 的南北方向的公路．现准备在城市 O 的西北区域内选址 P，建造开发区管委会，并开发 三角形区域 PAO 与 PBO．其中，AB 为计划修建的经过小镇 A 和管委会 P 的绕城公路(B 在 l2 上， 且位于城市 O 的正北方向)，PO 为计划修建的管委会 P 到城市 O 的公路，要求公路 PO 与公路 PA 的总长为 16km(即 PO＋PA＝16)．设∠BAO＝θ． （1）记 PA＝f(θ)，求 f(θ)的函数解析式，并确定θ的取值范围； （2）当开发的三角形区域 PAO 的面积最大时，求绕城公路 AB 的长．
n＋1
列．
数学Ⅰ 第 3页（共 10 页）
数学Ⅰ 第 4页（共 10 页）
2019 届期初数学学科调研测试试卷
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答 ，解答时应 ．．．．．．．．．． 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的方程为 x2＝2py(p＞0)，过点 P(m，0)(m≠0)的直线 l 与抛 → → → → 物线 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 Q，设 PA ＝λ QA ， PB ＝μ QB (λ，μ∈R)． （1）当 Q 为抛物线 C 的焦点时，直线 l 的方程为 y＝1x＋1，求抛物线 C 的标准方程； 3 （2）求证：λ＋μ为定值．
(第 11 题)
2 12. 已知函数 f(x)＝x＋a ， g(x)＝x－lnx． 若对任意的 x1∈[1， 1]， 存在 x2∈[1， 1]， 使得 g(x1)≤f(x2) x e e
成立，则实数 a 的取值范围是
▲
．
13. 在平面直角坐标系 xOy 中， M，N 是两定点，点 P 是圆 O：x2＋y2＝1 上任意一点，满足： PM＝2PN, 则 MN 的长为 ▲ ．
14. 在平面四边形 ABCD 中，已知ΔABC 的面积是ΔACD 的面积的 3 倍．若存在正实数 x，y 使得 → 1 → → AC ＝( －3) AB ＋(1－1) AD 成立，则 x所示，执行此算法，已知输出值 y 为 2，则输入值 x 为 Read x If x≤0 Then y← ex Else y← x2＋1 End If Print y
数学 I 参考答案
一、填空题 1. {2， 3} 2.1+2i 3.8 4. 1 5.2 3 3 6. 7 10 7. 3 8.2π 3 9.(0， 1) 10. 7 2 11. 5 7 14
BP 平面 BB1C1C
∴ BP 平面 AB1M
12. (－∞，－ 二、解答题
e e ]∪[ ，＋∞) e e
5．已知双曲线 x －y2＝1(a＞0)的一个焦点坐标为(2，0)，则它的离心率为 a2
2
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