教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数对称性1、函数的自对称问题已知函数()y f x =图像关于：（1）直线x a =对称，则()f x =()2f a x -；（2）点(),a b 对称，则()()22f x b f a x =--，即()()22f x f a x b +-=。

2、函数的互对称问题若函数()y g x =图像与()y f x =图像关于：（1）x 轴对称，则()()g x f x =-；（2）y 轴对称，则()g x =()f x -；（3）原点对称，则()()g x f x =--。

（4）()y f x =与()y g x =的图象关于直线x a =对称⇔()()f a x g a x +=-；（5）()y f x =与()y g x =的图象关于直线y b =对称⇔()()2f x g x b +=；（6）()y f x =与()y g x =的图象关于点(),a b 对称⇔()()2f a x g a x b ++-=；（7）()y f x =与()y g x =的图象关于直线y x =对称⇔()f x 和()g x 互为反函数。

二、函数图像变换注意：一切变换针对于变量本身（1）平移变换：ⅰ．函数)(x f y =的图象 函数)(a x f y +=的图象；ⅱ．函数)(x f y =的图象 函数b x f y +=)(的图象；（2）伸缩变换： ⅰ．函数)(x f y =的图象 函数)(x k f y ⋅=的图象； ⅱ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f k y ⋅=的图象；（3）对称变换：ⅰ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f y -=的图象；ⅱ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f y -=的图象；ⅲ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f y --=的图象；ⅳ．函数)(x f y =函数|)(|x f y =图象； ⅴ．函数)(x f y =函数|)(|x f y =图象；（4）翻折：自变量y 加绝对值即把x 轴下方部分翻折到上方即可，自变量x 加绝对值需把y 轴左侧部分清除，并画出与右侧部分图像对称的图像。

(5)顺序：针对于变量的运算，在变换过程中由外层运算向内层运算进行。

但注意，由于习惯把y 单独放在等式左边，所以针对于y 的变换如在右侧进行的话，规则相反。

如：213223x y -+=-+可由函数3322y x x y y +=−−−−→=−−−−−−−−−−→向左平移将轴左侧图像换为与右侧对称图像313213222x x x y y y +-+-+=−−−−→=−−−−−→=向右平移1横坐标缩小一半（针对于x 的变换结束） 213213213222222x x x x y y y -+-+-+=−−−−→=-−−−−−−−→=-−−−−→向下平移将轴下方图像翻上来向上平移3213223x y -+=-+（针对于y 的变换结束）三、综合性质：1、若()()f x a f b x +=-，则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称； 2、若()()f x a f b x c ++-=，则()y f x =图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭对称； 3、()y f x a =+与()y f b x =-关于直线2b a x -=对称； 4、()y f x a m =++与()y n f b x =--关于点,22b a m n -+⎛⎫⎪⎝⎭对称； 5、若()f x 关于直线x a =和x b =()a b ≠对称，则()f x 为以()2b a -为周期的周期函数；6、若()f x 关于点(),0a 和x b =()a b ≠对称，则()f x 为以()4b a -为周期的周期函数；7、若()f x 关于点()0,a y 和()0,b y ()a b ≠对称，则()f x 为以()2b a -为周期的周期函数。

记住这些结论不仅仅便于解决选择填空题，也便于解答题中的图象互相对称的函数解析式的求解问题。

四、函数的零点：对于函数()()y f x x D =∈，如果存在实数()c c D ∈，当x c =时，()0f c =，那么就把x c =叫做函数()()y f x x D =∈的零点。

注：零点是数；用二分法求零点的理论依据是：（零点定理）①函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续； ②()()0f a f b ⋅<那么，一定存在(,)c a b ∈，使得()0f c =。

（反之，未必）【经典例题】例1、关于)(x f y =给出下列五个命题：①若)1()1(x f x f +=+-，则)(x f y =是周期函数；②若)1()1(x f x f +-=-，则)(x f y =为奇函数；③若函数)1(-=x f y 的图像关于1=x 对称，则)(x f y =为偶函数；④函数)1(x f y +=与函数)1(x f y -=关于直线1=x 对称；⑤若)1()1(x f x f +=-，则)(x f y =的图像关于点)0,1(对称填写所有正确命题的序号_________例2、函数xy -=11的图像与函数)42(sin 2≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和等于________例3、确定函数()x x x f +-=31)(的图象的对称中心。

例4、求证函数xx y -=28log 2的图象关于点()1,3P 成中心对称。

例5、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,43对称，且满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()11,02f f -==-，则()()()()1232013f f f f ++++的值为（ ）A ．-2 B.-1 C.0 D.1例6、已知函数()3262a a f x x x x =-++的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1中心对称，求()f x 。

例7、已知()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，()g x 的图象与()f x 的图象关于直线1x =对称，且当[]2,3x ∈时，()()()32232g x a x x =---，其中92a >为常数，若()f x 的最大值为12，求a 的值。

例8、要得到()x y -=3lg 的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向_____平移3个单位而得到。

【拓展提高】例9、将函数()()311f x x =+-的图像按向量a 平移后得函数()g x 的图像，若函数()g x 满足()()111g x g x -++=，则向量a 的坐标是 （ ）A ()1,1--B 32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ()2,2 D 32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭例10、设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(1)1(|1|1)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则232221x x x ++=____________．例11、设函数()()||f x x a x b =-+（1）当2,3a b ==，画出函数()f x 的图像，并求出函数()y f x =的零点；（2）设2b =-，且对任意[1,1]x ∈-，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围.例12、设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a ay 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围． 【巩固练习】1、函数)(x f 满足对于任意的R x ∈都有)()2(x f x f -=+，那么函数的图像关于直线_ __ 对称。

2、已知函数1)(---=a x a x x f 的图像的对称中心是)1,4(则=a _______ 3、直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点，则的取值范围是_____4、)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线2=x 对称，且当)2,2(-∈x 时，1)(2+-=x x f ，则当)2,6(--∈x 时，=)(x f _________5、若函数b ax x x f --=2)(的俩个零点是2和3，则函数1)(2--=ax bx x g 的零点是_ _____6、定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”． 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②“12—伴随函数”至少有一个零点．；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是 （ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．0个；7、若函数21()log ()f x x a x =+-在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有零点，则实数a 的取值范围是_ _ _ 。

8、若函数y=f (x ) (x ∈R)满足：f (x +2)=f (x )，且x ∈[–1, 1]时，f (x ) = | x |，函数y=g (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0, +∞)时，g (x ) = log 3 x ，则函数y=f (x )的图像与函数y=g (x )的图像的交点个数为_______．9、设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，当],0[π∈x 时，1)(0<<x f ，且在]2,0[π上单调递减，在],2[ππ上单调递增，则函数x x f y sin )(-=在]10,10[ππ-上的零点个数为 ．10、已知21,[1,0),()1,[0,1],x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩则下列函数的图像错误的是……………………（ ）(A))1(-x f 的图像 (B))(x f -的图像 (C)|)(|x f 的图像 (D)|)(|x f 的图像。