本题若使用综合法进行推演，三角函数式的化简较难处 理，因此，可考虑分析法． 证明 要证12[f(x1)＋f(x2)]>fx1＋2 x2， 即证明12(tan x1＋tan x2)>tanx1＋2 x2，
只需证明12csions
x1＋sin x1 cos
xx22>tan
x1＋2 x2，
只需证明2scionsxx11＋coxs2x2>1＋sincoxs1＋x1＋x2x2.
由于 x1、x2∈0，π2，故 x1＋x2∈(0，π)． ∴cos x1cos x2>0，sin(x1＋x2)>0， 1＋cos(x1＋x2)>0， 故只需证明 1＋cos(x1＋x2)>2cos x1cos x2， 即证 1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2， 即证：cos(x1－x2)<1.
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2．间接证明 反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得 出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法．
[难点正本 疑点清源] 证明数学问题的方法比较多，只是我们比较常用的方法有综 合法、分析法和反证法．在证明问题时，既可独立运用，又可 综合应用． (1)对于较复杂问题的解决，往往既使用综合法又使用分析法，其 结合使用的基本格式为：P⇒P1⇒P2…⇒Pn⇒Qm⇐Qm－1⇐…⇐ Q1⇐Q(P 是已知的条件、公理、定义、公式，Q 则表示要证明 的结论．) (2)反证法是从反面的角度思考的证明方法，即肯定题设而否定结 论，从而导出矛盾推理而得．适合使用反证法证明的命题有：① 否定性命题；②唯一性命题；③至多、至少型命题；④明显成立 的命题；⑤直接证明有困难的问题．

综合法
例 1 设 a，b，c>0，证明：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
本题因为有三项分式，不主张用分析法．综合法证明不等式， 要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可 从去分母的角度去运用基本不等式． 证明 ∵a，b，c>0，根据基本不等式， 有ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c. 三式相加：ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． 当 a＝b＝c 时取等号． 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
(2)∵ 3a＋2＝ 3a＋2×1 ≤3a＋22＋1＝3a＋2 3， 同理 3b＋2≤3b＋2 3， 3c＋2≤3c＋2 3，
∴ 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2 ≤3a＋b2＋c＋9＝6，
∴原不等式成立．
分析法
例 2 已知函数 f(x)＝tan x，x∈0，π2，若 x1，x2∈0，π2， 且 x1≠x2， 求证：12[f(x1)＋f(x2)]>fx1＋2 x2.
要点梳理
忆一忆知识要点
(2)分析法 ①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条 件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的 条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法 叫做分析法． ②框图表示： Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 得到一个明显成立的条件 .
直接证明与间接证明
要点梳理
忆一忆知识要点
1．直接证明 (1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等， 经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成 立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)．
探究提高
综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注 意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式 的性质推导证明．
变式训练 1
已知 a、b、c 为正实数，a＋b＋c＝1. 求证：(1)a2＋b2＋c2≥13；
(2) 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤6.
证明 (1)方法一 a2＋b2＋c2－13 ＝13(3a2＋3b2＋3c2－1) ＝13[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2] ＝13(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc) ＝13[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，
∴a2＋b2＋c2≥13.
方法二 ∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2
＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2，
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1， ∴a2＋b2＋c2≥13.
方法三 设 a＝13＋α，b＝13＋β，c＝13＋γ.
∵a＋b＋c＝1，∴α＋β＋γ＝0. ∴a2＋b2＋c2＝13＋α2＋13＋β2＋13＋γ2 ＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2 ＝13＋α2＋β2＋γ2≥13， ∴a2＋b2＋c2≥13.