z
y
x
d ( m) 0 dt
d V 0 拉格郎日型连续方程 dt
4
Lagrange 观点下连续方程的物理意义
d V 0 dt ？



(1) V 0 流体体积增大 d / dt 0 流体密度减小； (2) V 0 流体体积减小 d / dt 0 流体密度增大； (3) V 0 流体体积不变 d / dt 0 流体密度不变。
V t
单位体积的流体质量通量
(1) （V） 0 有流体净流出 / t 0 流体局地密度减小； (2) （V） 0 有流体净流入 / t 0 流体局地密度增大； (3) （V） 0 流体无净流出或净流入 / t 0 流体局地密度不变。
第二章 基本方程
流体运动同其他物体的运动一样，同样遵循质量 守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律。 本章将介绍描述流体运动的连续方程、运动方程 和能量方程。
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第二章 基本方程
主要内容：
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 连续方程 作用于流体的力、应力张量 运动方程 能量方程 简单情况下的N-S方程的准确解
在流体中，选取一个以xy 为底的长方形柱体，该柱 体是一底面固定不动的空 间区域，称为控制区。
z
h O
x
x
y
y
流体可以通过控制区的侧面，沿x轴方向流出、流入该柱体。
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m x y z 考虑柱体内流体的质量为： 0
h
x , y, z , t
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2、欧拉(Euler)观点下的流体连续方程（一） 利用欧拉控制体积法导出流体的连续方程的微分形式。 在空间上选取一无限小的控制体，如图所示。
单位时间内通过左侧面 流入控制体的流体质量为：
z
z
u y z
单位时间内通过右侧面 流出控制体的流体质量为：
[ u ( u ) x] y z x
v 常数
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3、具有自由表面的流体连续方程 通常把自然界中水与空气的交界面称为水面或水表面。 实际物理现象： 空气 水 当水面向某处汇集时，该处水面将被拥挤而升高；反之， 当该处有水向四周散开时，将使得那里的水面降低。 这种因流动而伴随出现的可以升降的水面，在流体力学中 称之为自由表面。
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交界面
具有自由表面的流体连续方程的导出： 假设流团密度为 x, y, z, t ，考虑流体运动为二维
w 0, 的，即满足：
/ z 0 ，取流向方向为 x 轴。
设流体自由表面高度为 h h x, y, t ，即 h 在各处高低 不同且可以随时间变化。
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或者 ( V ) 0 t
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2、欧拉(Euler)观点下的流体连续方程（二）
拉格郎日型连续方程
d V 0 dt
d V dt t
欧拉型连续方程
V 0 t
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欧拉型连续方程的物理意义
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V t
对于流体的定常运动，有
0 t
流体的连续性方程可写为：
V 0

可知，在定常运动中，通过任意控制体表面流体质量 的净流入量等于零，即单位时间内流出控制体表面的 质量等于流进控制体表面的质量。
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V 0

对于沿流管的定常流动，设流速与截面垂直，且密度 和流速在任意截面内为定值，则沿流管的连续方程：
h
柱体内的净流出量
h x u y z u y z 0 0 x
[
( u ) ( v) ( w)] x y z x y z
x y z t
单位时间内，该控制体内的质量减少为：

根据质量守恒定律，对于固定的控制体，单位时间内流出控制体的流体质量 应等于单位时间内该控制体内质量的减少，由此得到：
( u ) ( v) ( w) 0 t x y z
经流体柱后侧流入的流体质量应为： 流入质量= 0 u y z
h
同时，经流体柱前侧流出的质量为： 流出质量=
x u y z u y z 0 0 x
h h
z
u
h
O
x
u u x x
x
y
y
量的减少。 流出质量= 流入质量=
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对于不可压缩流体，它在流动过程中每 个流点的密度始终保持不变，应有，此 时流体的连续性方程为：
d 0 dt
V 0
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例2-1-1判断下列流体运动是否为不可压缩？
u xt 2 y (1) 2 v xt yt u=y 2 2 xz (2) v 2 yz xy 2 z 1 w x 2 z 2 x3 y 4 2
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第一节
连续方程
连续方程是流体力学的基本方程之一，它是 在质量守恒定律在流体力学中的应用。 流体运动的连续方程，反映流体运动和质量 分布的关系，
重点讨论几种不同表现形式的流体连续方程。
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1、拉格郎日(Lagrange) 观点下的流体连续方程 Lagrange 观点下质量守恒定律：某一流体块（流点）在 运动过程中，尽管其体积和形状可以发生变化，但其质 量是守恒不变的。
u
y
x
u
( u ) x x
y
x
单位时间内x方向上流体通过控制体的质量净流出量为：
[u
( u ) x] y z u y z = ( u ) x y z x x
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类似可得到y、z方向上的表达式，单位时间内 通过整个控制体的流体净流出量为：