2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国I 卷)理科数学一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1、已知集合A={x|x<1}，B={x|3x <1}，则( ) A ．A∩B={x|x<0} B ．A ∪B=R C ．A ∪B={x|x>1} D ．A∩B=∅ 解析：A={x|x<1}，B={x|3x <1}={x|x<0}，∴A ∩B={x|x<0}，A ∪B={x|x<1}，选A ．2、如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π4解析：设正方形边长为2，则圆半径为1，则正方形的面积为2×2=4，圆的面积为π×12=π，图中黑色部分的概率为π2．则此点取自黑色部分的概率为π24=π8．故选B ． 3、设有下面四个命题，其中正确的是( )p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R ．A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：p 1:设z=a+bi ，则1z =1a+bi =a –bia 2+b 2∈R ，得到b=0，所以z ∈R ．故p 1正确； p 2:若z 2=–1，满足z 2∈R ，而z=i ，不满足z 2∈R ，故p 2不正确；p 3:若z 1=1，z 2=2，则z 1z 2=2，满足z 1z 2=R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p 3不正确； p 4:实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确；故选B ．4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：a 4+a 5=a 1+3d+a 1+4d=24，S 6=6a 1+6×52d=48，联立求得⎩⎨⎧2a 1+7d=24①6a 1+15d=48②①×3–②得(21–15)d=24，∴6d=24，∴d=4，∴选C ．当然，我们在算的时候引用中间项更快更简单：a 4+a 5=24→a 4.5=12，S 6=48→a 3.5=8，∴d=4．5、函数f(x)在(–∞,+∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=–1，则满足–1≤f(x–2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[–2,2] B ．[–1,1] C ．[0,4] D ．[1,3]解析：因为f(x)为奇函数，所以f(–1)=–f(1)=1，于是–1≤f(x–2)≤1等价于f(1)≤f(x–2)≤f(–1)． 又f(x)在(–∞,+∞)单调递减，∴–1≤x–2≤1，∴1≤x≤3．故选D ．6、(1+1x 2)(1+x)6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35解析：(1+1x 2)(1+x)6=1·(1+x)6+1x 2·(1+x)6．对(1+x)6的x 2项系数为C 26=6×52=15，对1x 2·(1+x)6的x 2项系数为C 46=15，∴x 2的系数为15+15=30．故选C ．7、某多面体的三视图如图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16 解析：由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面，∴S 梯=(2+4)×2÷2=6，S 全=6×2=12．故选B ．8、右面程序框图是为了求出满足3n –2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．A>1000和n=n+1B ．A>1000和n=n+2C ．A≤1000和n=n+1D ．A≤1000和n=n+2解析：因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出，∴“”中不能输入A>1000，排除A 、B ．又要求n 为偶数，且n 初始值为0，“”中n 依次加2可保证其为偶，故选D ．9、已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：C 1：y=cosx ，C 2：y=sin(2x+2π3)，首先曲线C 1、C 2统一为一三角函数名，可将C 1：y=cosx 用诱导公式处理．y=cosx=cos(x+π2–π2)=sin(x+π2)．横坐标变换需将ω=1变成ω=2，即y=sin(x+π2)C 1上各点横坐标缩短为它原来的一半→y=sin(2x+π2)=sin2(x+π4)→y=sin(2x+2π3)=sin2(x+π3)． 注意ω的系数，在右平移需将ω=2提到括号外面，这时x+π4平移至x+π3， 根据“左加右减”原则，“x+π4”到“x+π3”需加上π12，即再向左平移π12．10、已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的交点，过F 作两条互相垂直l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，|AB|+|DE|的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10解析：设AB 倾斜角为θ．作AK 1垂直准线，AK 2垂直x 轴，易知⎩⎨⎧|AF|·cos θ+|GF|=|AK 1|(几何关系)|AK 1|=|AF||GP|=P 2–(–P2)=P． ∴|AF|·cosθ+P=|AF|．同理|AF|=P 1–cosθ，|BF|=P 1+cosθ，∴|AB|=2P 1–cos 2θ=2Psin 2θ．又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2+θ，|DE|=2P sin 2(π2+θ)=2P cos 2θ，而y 2=4x ，即P=2． ∴x|AB|+|DE|=2P(1sin 2θ+1cos 2θ)=4sin 2θ+cos 2θsin 2θcos 2θ=4sin 2θcos 2θ=16sin 2θ≥16，当θ=π4取等号，即|AB|+|DE|最小值为16，故选A ．11、设x ，y ，z 为正数，且2x =3y =5z ，则( )A ．2x<3y<5zB ．5z<2x<3yC ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z解析：取对数：xln2=yln3=zln5，x y =ln3ln2>32，∴2x>3y ．又∵xln2=zln5，则x z =ln5ln2<52．∴2x<5z ，∴3y<2x<5z ，故选D ．12、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，在接下来的三项式26，21，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( ) A ．440 B ．330 C ．220 D ．110解析：设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为n(1+n)2，由题，N>100，令n(1+n)2>100→n≥14且n ∈N +，即N 出现在第13组之后．第n 组的和为1–2n 1–2=2n–1．n 组总共的和为2(1–2n )1–2–n=2n –2–n ．若要使前N 项和为2的整数幂，则N –n(1+n)2项的和2k –1应与–2–n 互为相反数，即2k –1=2+n(k ∈N+，n≥14)．∴k=log 2(n+3)．∴n=29，k=5．∴N=29×(1+29)2+5=440，故选A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．1、已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2b |=________．解析：|a +2b |2=(a +2b )2=|a |2+2·|a ||2b |·cos60°+(2|b |)2=22+2×2×2×12+22=4+4+4=12，∴|a +2b |=12=23．2z=3x –2y 的最小值为_______．2x +y +1=0由z=3x –2y 得y=32x –z2，求z 的最小值，即求直线y=32x –z2的纵截距的最大值 当直线y=32x –z2过图中点A 时，纵截距最大由⎩⎨⎧2x+y=–1x+2y=1解得A 点坐标为(–1,1)，此时z=3×(–1)–2×1=–5．3、已知双曲线C ：x 2a 2–y 2b 2=1，(a>0，b>0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MAN=60°，则C 的离心率为_______． 解析：如图，|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ．∵∠MAN=60°，∴|AP|=32b ，|OP|=|OA|2–|PA|2=a 2–34b 2，∴tanθ=|AP||OP|=32b a 2–34b 2，又∵tanθ=b a ，∴32b a 2–34b 2=b a ，解得a 2=3b 2，∴e=1+b 2a 2=1+13=233．4、如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，D 、E 、F 为元O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是一BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为_______．解析：由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD ⊥BC ，OG=36BC ，即OG 的长度与BC 的长度或成正比． 设OG=x ，则BC=23x ，DG=5–x ．∴三棱锥的高h=DG 2–OG 2=25–10x+x 2–x 2=25–10x ．又∵S △ABC =23·3x·12=33x 2，∴V=13S △ABC ·h=3x 2·25–10x=3·25x 4–10x 3， 令f(x)=25x 4–10x 3，x ∈(0,52)，f'(x)=100x 3–50x 4．令f'(x)>0，即x 4–2x 3<0，x<2．∴f(x)≤f(2)=80，∴V≤3×80=45，∴体积最大值为415cm 3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17–21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．1、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sinA ．(1)求sinBsinC ；(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．解析：本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.(1)∵△ABC 面积S=a 23sinA 且S=12bcsinA ，∴a 23sinA =12bcsinA ．∴a 2=32bcsinA ．∵由正弦定理得sin 2A=32sinBsinCsin 2A ，由sinA≠0得sinBsinC=23．(2)由(1)得sinBsinC=23，cosBcosC=16．∵A+B+C=π，∴cosA=cos(π–B –C)=–cos(B+C)=sinBsinC –cosBcosC=12． 又∵A ∈(0,π)，∴A=60°，∴sinA=32，cosA=12． 由余弦定理得a 2=b 2+c 2–bc=9 ①由正弦定理得b=a sinA ·sinB ，c=a sinA ·sinC ，∴bc=a 2sin 2A ·sinBsinC=8②由①②得b+c=33．∴a+b+c=3+33，即△ABC 的周长为3+33．2、(12分)如图，在四棱锥P –ABCD 中，AB ∥CD 中，且∠BAP=∠CDP=90°．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA=PD=AB=DC ，∠APD=90°，求二面角A –PB –C 的余弦值．解析：(1)证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA ⊥AB ，PD ⊥CD ．又∵AB ∥CD ，∴PD ⊥AB ． 又∵PD∩PA=P ，PD 、PA ⊂平面PAD ．∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ．∴平面PAB ⊥平面PAD ． (2)取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE ，∵AB ∥CD ∴四边形ABCD 为平行四边形，∴OE ∥AB ． 由(1)知，AB ⊥平面PAD ，∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ⊂平面PAD ．∴OE ⊥PO ，OE ⊥AD ．又∵PA=PD ，∴PO ⊥AD ．∴PO 、OE 、AD 两两垂直 ∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O –xyz ．设PA=2，∴D(–2,0,0)、B(2,2,0)、P(0,0,2)、C(–2,2,0)，∴PD =(–2,0,–2)、PB =(2,2,– 2)、BC =(–22,0,0) 设n =(x,y,z)为平面PBC 的法向量由⎩⎨⎧n ·PB =0n ·BC =0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x+2y –2z=0–22x=0．令y=1，则z=2，x=0，可得平面PBC 的一个法向量n =(0,1,2)． ∵∠APD=90°，∴PD ⊥PA ． 又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ．∴PD ⊥AB ，又PA∩AB=A ，∴PD ⊥平面PAB即PD 是平面PAB 的一个法向量，PD =(–2,0,–2)． ∴cos<PD ,n >=PD ·n |PD ||n |=–223=–33．由图知二面角A –PB –C 为钝角，所以它的余弦值为–33．3、(12分)为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①试说明上述监控生产过程方法的合理性：②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得1619.97i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数x 为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除(μ–3σ,μ+3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ–3σ<Z<μ+3σ)．0.997416≈0.9592，0.008≈0.09．解析：(1)由题可知尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974，落在(μ–3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026．P(X=0)=C 016(1–0.9974)0·0.997416≈0.9592，P(X≥1)=1–P(X=0)≈1–0.9592=0.0408， 由题可知X~B(16,0.0026)，∴E(X)=16×0.0026=0.0416． (2)①尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之外为小概率事件， 因此上述监控生产过程的方法合理．②(μ–3σ=9.97–3×0.212=9.334，μ+3σ=9.97+3×0.212=10.606，∴(μ–3σ,μ+3σ)=(9.334,10.606)∵9.22∉(9.334,10606)，∴需对当天的生产过程检查，因此剔除9.22．剔除数据之后：μ=9.97×16–9.2215=10.02． σ2=[(9.95–10.02)2+(10.12–10.02)2+(9.96–10.02)2+(9.96–10.02)2+(10.01–10.02)2+(9.92–10.02)2+(9.98–10.02)2+(10.04–10.02)2+(10.26–10.02)2+(9.91–10.02)2+(10.13–10.02)2+(10.02–10.02)2+(10.04–10.02)2+(10.05–10.02)2+(9.95–10.02)2]×115，∴σ=0.008≈0.09．4、(12分)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(–1,32)，P 4(1,32)中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点． 解析：(1)根据椭圆对称性，必过P 3、1，椭圆必不过P 1，所以过P 2、P 3、P 4三点将P 2(0,1)、P 3(–1,32)代入椭圆方程得a 2=4，b 2=1．∴椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1．(2)①当斜率不存在时，设l ：x=m ，–y A )，k P2A +k P2B =y A –1m +–y A –1m =–2m =–1 得m=2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l ：y=kx+b(b ≠1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立⎩⎨⎧y=kx+b x 2+4y 2–4=0，整理得(1+4k 2)x 2+8kbx+4b 2–4=0．∴x 1+x 2=–8kb 1+4k 2，x 1x 2=4b 2–41+4k 2．则k P2A +k P2B =y 1–1x 1+y 2–1x 2=x 2(kx 1+b)–x 2+x 1(kx 2+b)–x 1x 1x 2=8kb 2–8k –8kb 2+8kb1+4k 24b 2–41+4k 2=8k(b –1)4(b+1)(b –1)=–1． 又b ≠1，∴b=–2k –1，此时△=–64k ，存在k 使得△>0成立．∴直线l 的方程为y=kx –2k –1．当x=2时，y=–1．所以l 过定点(2,–1)．5、(12分)已知函数f(x)=ae 2x +(a –2)e x –x ． (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围．解析：(1)由于f(x)=ae 2x +(a –2)e x –x ，故f'(x)=2ae 2x +(a –2)e x –1=(ae x –1)(2e x +1) ①当a≤0时，ae x –1<0，2e x +1>0．从而f'(x)<0恒成立． f(x)在R 上单调递减②当a>0时，令f'(x)=0，从而x 综上，当a≤0时，f(x)在R lna,+∞)上单调递增(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在R 上单调减，故f(x)在R 上至多一个零点，不满足条件．当a>0时，f min =f(–lna)=1–1a +lna ．令g(a)= f min =1–1a +lna(a>0)，则g(a)在(0,+∞)上单调增，而g(1)=0．故当0<a<1时，g(a)<0．当a=1时g(a)=0．当a>1时g(a)>0若a>1，则f min =1–1a +lna=g(a)>0，故f(x)>0恒成立，从而f(x)无零点，不满足条件．若a=1，则f min =1–1a +lna=0，故f(x)=0仅有一个实根x=–lna=0，不满足条件．若0<a<1，则f min =1–1a +lna<0，注意到–lna>0．f(–1)=a e 2+a e +1–2e >0．故f(x)在(–1,–lna)上有一个实根，而又ln(3a –1)>ln 1a =–lna ．且f(ln(3a –1))=e 的ln(3a –1)次方·(a·e 的ln(3a –1)次方+a –2)–ln(3a –1)=(3a –1)·(3–a+a –2)–ln(3a –1)=(3a –1)–ln(3a –1)>0．故f(x)在(–lna,ln(3a –1))上有一个实根．又f(x)在(–∞,–lna)上单调减，在(–lna,+∞)单调增，故f(x)在R 上至多两个实根．又f(x)在(–1,–lna)及(–lna,ln(3a –1))上均至少有一个实数根，故f(x)在R 上恰有两个实根． 综上，0<a<1．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．1、[选修4–4：坐标系与参考方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x=3cosθy=sinθ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x=a+4ty=1–t (t 为参数)．(1)若a=–1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a ．解析：l 的方程为．曲线C 的标准方程是x 29+y 2=1，联立方程⎩⎨⎧x=3y=0或C 与l 交点坐标是(3,0)和(–2125,2425)． (2)直线l 一般式方程是x+4y –4–a=0C 上点P (3cosθ,sinθ)．则P 到l 距离d=|3cosθ+4sinθ–4–a|17=|5sin(θ+φ)–4–a|17，其中tan φ=34．依题意得：d max =17，解得a=–16或a=8．2、[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=–x 2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x –1|． (1)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1]，求a 的取值范围．解析：(1)当a=1时，f(x)=–x 2+x+4，是开口向下，对称轴x=12的二次函数．g(x)=|x+1|+|x –1|=⎩⎪⎨⎪⎧2x(x>1)2(–1≤x ≤1)–2x(x<–1)，当x ∈(1,+∞)时，令–x 2+x+4=2x ，解得x=17–12．g(x)在(1,+∞)上单调递增，f(x)在(1,+∞)上单调递减．∴此时f(x)≥g(x)解集为(1,17–12]．当x ∈[–1,1]时，g(x)=2，f(x)≥f(–1)=2；当x ∈(–∞,–1)时，g(x)单调递减，f(x)单调递增，且g(–1)=f(–1)=2．综上所述，f(x)≥g(x)解集[–1,17–12]．(2)依题意得：–x 2+ax+4≥2在[–1,1]恒成立．即x 2–ax –2≤0在[–1,1]恒成立．则只须⎩⎨⎧12–a ·1–2≤0(–1)2–a(–1)–2≤0，解出：–1≤a≤1．故a 取值范围是[–1,1]．。