3.4.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。
解：∵j idt r d a ˆ6ˆ12/22+==, j i a m F ˆ12ˆ24+==为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。
F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为：'34265.0/︒===arctg F arctgF x y α3.4.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为：j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。
证明：∵r j t b it a dt r d a2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-== r m a m F2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。
3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m 1 ,m 2,如图所示，m 2和桌面间的摩擦系数为μ2，m 1和m 2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。
解：以地为参考系，隔离m 1、m 2，其受力与运动情况如图所示，其中，N 1'=N 1,f 1'=f 1=μ1N 1,f 2=μ2N 2，选图示坐标系o-xy ，对m 1,m 2分别应用牛顿二定律，有0212222211111111=--=--=-=g m N N a m N N F g m N a m N μμμ 解方程组，得()2221211211/m g m g m g m F a ga μμμμ---==要把木板从下面抽出来，必须满足12a a >，即gm g m g m g m F 12221211μμμμ>---()()g m m F 2121++>∴μμ3.4.6在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。
m 1gf 1 N 1 a 1 a 2x y解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ，f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ①+②可求得：g m m gm F a μμ-+-=2112将a 代入①中，可求得：2111)2(m m g m F m T +-=μ3.4.7在图示的装置中，物体A,B,C 的质量各为m 1,m 2,m 3，且两两不相等. 若物体A,B 与桌面间的摩擦系数为μ，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，隔离A,B,C ，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ，f 2=μN 2=μm 2g ，T'=2T ，由于A 的位移加B 的位移除2等于C 的位移，所以（a 1+a 2）/2=a 3.对A,B,C 分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：③②①2/)(22133222111a a m T g m a m g m T a m g m T +=-=-=-μμ①,②,③联立，可求得：gm m m m m m m m a g m m m m m m m a gm m m m m m m a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=μμμμμμ21321321321321312213213214)()1()(4)()1(24)()1(23.4.12 沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为2kg ，t=0时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力时才启动）。
解：根据推力F-t 图像，可知F=4.9t （t ≤20）,令F=mg ，即4.9t=2×9.8，t=4s 。
因此，火箭发射可分为三个阶段：t=0—4s 为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，f 1 N 1m 1gTaFN 2 m 2gTaN 1 f 1 f 2T f 1 N 1m 1ga 1Tf 2N 2m 2ga 2T' m 3g a3v=0,y=0；t=4—20s 为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20s 时，y = y1，v = v max ； t ≥20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动， 设达最大高度时的坐标 y=y 2.第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dt()()my dttdt dt t dy dttt vdt dy sm v v t t t v t dt tdt dv dttdt gdt dt m F dv y tt v 16729.448.94/9.4)9.448.94/9.4(/314)20(209.448.94/9.4208.92/9.48.92/9.4/1204204204202max 24401=⨯+-=∴⨯+-====≤⨯+-=≤-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 第三阶段运动学方程)2()20(9.4)20(314),1()20(8.931421---=---=t t y y t v令v=0,由（1）求得达最大高度y 2时所用时间（t-20）=32，代入（2）中，得y 2-y 1=5030 y 2=y max =5030+1672=6702(m)3.4.13抛物线形弯管的表面光滑，沿铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y=a x 2，a 为正常数，小环套于弯管上。
⑴弯管角速度多大，小环可在管上任一位置相对弯管静止？⑵若为圆形光滑弯管，情况如何？解：以固定底座为参考系，设弯管的角速度为ω，小环受力及运动情况如图示：α为小环处切线与x 轴夹角，压力N 与切线垂直，加速度大小a=ω2x ，方向垂直指向y 轴。
在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式：②①mg N N x m N N ==-︒==-︒ααωααcos )90sin(sin )90cos(2①/②得：tg α=ω2x/g ③；由数学知识：tg α=dy/dx=2a x ； 所以，ag ag g x ax 2,2,/222===ωωω若弯管为半径为R 的圆形，圆方程为：x 2 + (R-y)2 = R 2，即222/122212/1222/122222/)2()(/)(,)(,)(xR x x x R dx dy tg x R R y x R y R x R y R -=-⋅--==--=-=--=--α代入③中，得：22222/,//x R g g x x R x -==-ωω3.5.1 小车以匀加速度a 沿倾角为α的斜面向下运动，摆锤相对小车保持静止，求悬线与竖直方向的夹角（分别自惯性系和非惯性系求解）。
解：（1）以地为参考系（惯性系），小球受重力W 和线拉力T 的作用，加速度a 沿斜面向下，建立图示坐标o-xy,x应用牛顿第二定律：⎩⎨⎧=-=αθαθsin cos cos sin ma T mg ma T解得 )sin /(cos ααθa g a tg -=（2）以小车为参考系（非惯性系），小球除受重力W 、拉力T 外，还受惯性力f *的作用(见上图虚线表示的矢量)，小球在三个力作用下静止，据牛顿第二定律：⎩⎨⎧=--=-0sin cos 0cos sin αθαθma T mg ma T 解得ααθsin cos a g a tg -=3.5.2 升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为m 1,m 2且m 1≠m 2,若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a （方向向下）运动时，两物体的加速度各是多少？绳内的张力是多少？T Tf 1* f 2*aa 1' a 2 m 1g m 2g解：以升降机为参考系,隔离m 1,m 2,受力及运动情况如图示,T 为绳中张力，f 1*=m 1a,f 2*=m 2a, a 1'=a 2'=a'为m 1、m 2相对升降机的加速度.以向下为正方向，由牛顿二定律，有：⎩⎨⎧=---=--''222111a m a m T g m a m a m T g m 解得：⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-+-=)/()(2)()('2121211221m m a g m m T m m g m m a m m a 设m 1、m 2的加速度分别为a 1、a 2，根据相对运动的加速度公式，a a a a a a+=+=''2211 写成标量式：a a a a a a +=+-=','21，将a ’代入，求得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=+--=))(2)(2211212211221m m g m m a m a m m g m m a m a3.5.4摩托车选手在竖直放置圆筒壁内在水平面内旋转。
筒内壁半径为3.0m ，轮胎与壁面静摩擦系数为0.6，求摩托车最小线速度（取非惯性系做）解：设摩托车在水平面内旋转的最小角速度为ω，以摩托车本身为参考系，车受力情况如图示，运动状态静止。
在竖直方向应用平衡条件，μ0N = mg ①f*=m ω2r在水平方向应用平衡条件，N = m ω2 r ② ①/②得：rgrg020,μωωμ==最小线速度 s m rg r v /76.0/8.90.3/0=⨯===μω3.6.2一质量为m 的质点在o-xy 平面上运动，其位置矢量为：j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ，求质点的动量。
解：质点速度：j t b it a dt r d v ˆcos ˆsin /ωωωω+-==质点动量：j t b m it a m v m p ˆcos ˆsin ωωωω+-==大小：t b t a m p p p y x ωωω222222cos sin +=+=方向：与x 轴夹角为θ，tg θ= p y /p x = - ctg ωt ·b/a3.6.4 棒球质量为0.14kg,棒球沿水平方向以速率50m/s 投来， 经棒击球后，球沿水平成30º飞出，速率为80m/s ，球与棒接触时间 为0.02s ，求棒击球的平均力。
v解：以地为参考系，把球视为质点，由动量定理，0v m v m t F-=∆，画出矢量图，由余弦定理，2/10220222)30cos 2(︒++=∆v v m v m v m t F ，代入数据，可求得F=881N.由正弦定理 ︒∆=30sin /sin /t F mv α，代入数据， 求得'3218,3179.0sin ︒=≈αα mv 03.6.6质量m 1=1kg, m 2=2kg, m 3=3kg, m 4=4kg ，m 1, m 2和m 4三个质点的位置坐标顺次是：(x,y) = (-1,1), (-2,0), (3,-2)，四个质点的质心坐标是：(x,y)=(1,-1)，求m 3的位置坐标。