非惯性坐标系问 题与惯性坐标系问题 相比，关键在于质量 力不同。在惯性坐标 系中质量力用 f表示， 比较简单，如重力场 中 f =－gk。在非惯性 系中，质量力应包括 附加惯性力：
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f f ao ωr ωωr 2ω V
带负号的四项依次是： 平移惯性力， 旋转切向惯性力， 旋转向心惯性力， 哥氏惯性力。 单位质量的惯性力是 加速度的量纲。
g 2g
ggg
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工程流体力学 Engineering Fluid Mechanics
第4章 流体动力学基本原理
§4.8 动量矩守恒原理—动量矩方程
积分形式动量矩方程
输运公式为
dN dt
t
nd
A
nn VdA
n r V, N r Vd n表示单位质量流体的动量矩;
N 为整个系统内流体的动量矩。
H0
根据上式可建立定常不可压伯努利方程
p
g
V 2
2g
z 2r2 2g
H0
p1
g
V12
2g
z1
2 r12 2g
p2
g
V22
2g
z2
2r22 2g
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直线等加速运动坐标系中沿流线的动量方程
在此非惯性系中，质量力需附加惯性力项，其在流线方向的 分量可由下式得到：
ao axi ay j azk
工程流体力学
(第四章 流体动力学基本原理)
哈尔滨工程大学 动力与能源工程学院
1
工程流体力学 Engineering Fluid Mechanics
第4章 流体动力学基本原理
§4.6 流线法向动量方程
伯努利方程表达了沿流线方向的压力，速 度等的变化规律，现在我们讨论垂直于流线方 向的压力速度变化关系问题。为此我们换一种 思考问题途径，即直接对流体质点运用牛顿第 二定律建立方程。
如图示，最一般的非
惯性坐标系o′x′y′z′相对 于惯性坐标系oxyz作下 列运动；坐标原点o′的 平移运动，ro′是 t 的函 数；坐标系绕某轴作 旋转运动，而且可能
是变角速度的旋转运
动，ω是 t 的函数。
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工程流体力学 Engineering Fluid Mechanics
§4.7 非惯性坐标系中的动量方程
3
因为
drdAV 2 ( p dp)dA pdA dW cos
r
cos dz
dr
dW gdrdA
故有
V2 d p
g
r
dr
z
g
这就是沿流线的主 法线方向的微分形式的 动量方程，它适于定常、 理想不可压流动。
4
此时，若再补充一个伯努利常数在各条流线上是同一个常数的
条件，即
d p V2
8
因此，我们可以写出o′x′y′z′动坐标系中的动量方程：
f ao ωr ωωr 2ω Vd pndA
A
A1
Vn1
VdA
A2
Vn 2式中V′、r′、τ′、A′
分别为动系中的相
对速度、向径、控
制体体积、控制面
面积。
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旋转坐标系中沿流线的动量方程 这类问题在透平机械（风机，泵，气轮机等）中
dr
g
2g
z
0
将其与法向动量方程
V2 d p
gr
dr
z
g
联立，得到
dV V 0 dr r
积分得
V c r
作为一种应用，在弯曲管道中，内侧流速较高，外侧流速较低，
就是例证。
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工程流体力学 Engineering Fluid Mechanics
第4章 流体动力学基本原理
§4.7 非惯性坐标系中的动量方程 积分形式动量方程
dl l
V Adl AV V dl
t
l
dz 2r dr 1 p 1 V V V dl g dl g l g t g l
1
g
p l
1
g
V 2
l
2
dz dl
2r g
dr dl
1
g
V t
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上式沿流线积分可建立定常流动的伯努利方程
1
g
dp
V 2
2g
z 2r2 2g
d dt
r Vd
t
r Vd
A
r Vn Vd A
对上式应用质点系的动量矩定理：流体系统内流体动量矩的时间变化
率等于作用在系统上的所有外力矩的矢量和。
t
r
Vd
A
r
Vn
Vd
A
r
fd
A
r
pndA
定常流动时： r Vn VdA r fd r pndA
A
A
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叶轮机械的基本方程
dl dxi dyj dzk
所以
ao
dl dl
ax
dx dl
ay
dy dl
az
dz dl
在沿流线的动量方程推导中，对于定常不可压理想流体，有
1
dp dl
d V2
dl
2
g
dz dl
ax
dx dl
ay
dy dl
az
dz dl
0
积分可得 p V 2 z ax x ay y az z const
动量矩方程可以表示为
（绝对速度）
r Vn Vd A (ri Fi )
A
所有外力矩的矢量和
（法向分速度）
（牵连速度） （切向分速度）
取图中虚线包容的体积为控制体：
2
哥氏力与相对速度方向垂直，在流线方向的分量
为零。
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建立沿流管动量方程
g Adlcos Adl2r dr
dl
pA
pA
pA
l
dl
p
dA dl
dl
AV 2
AV 2 AV 2
dl
l
V Adl
t
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消去抵消量有
g Adz Adl2r dr pA dl
dl l
经常遇到的。其推导过程与惯性系中大体相同，关键 是质量力要附加上惯性力（离心力与哥氏力）。
旋转坐标系中沿流线动量方程
在旋转坐标系中流体微团的相对运动
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离心力
Adl2rer
在流线方向的分量
Adl
2r
cos
er
,
dl
Adl
2r
dr dl
所以定常不可压理想流体的伯努利方程中会有 2rdr
的积分项 1 2r2
p dA dl AV 2 dl V Adl
dl
l
t
对微分项作适当展开有
g Adz Adl2r dr A p dl p dA dl
dl l
dl
p dA dl AV V dl V AV dl
dl
l
l
V Adl V Adl
t
t
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进一步简化
g Adz Adl2r dr A p dl
这里我们只讨论定常流动，此时流线和迹 线是相同的。
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工程流体力学 Engineering Fluid Mechanics
§4.6 流线法向动量方程
如图示，在流线 BB'上M点取一圆柱形 流体微团，其柱轴与 流线主法线相重合， M点曲率半径为r，微 元圆柱两端面积为dA， 微元柱长度为dr，则 对此流体微团在r方 向建立动量方程为