【答案】D
【解析】
【分析】
先根据点P及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．
【详解】
由点P（a，b）经过变换后得到的对应点为P′（ a+1， b﹣1）知，
此变换是以点（2，﹣2）为中心、2：1的位似变换，
则△ABC的面积与△A′B′C′的面积比为4：1，
∴S1＝4S2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．
12．如图，已知 和 都 是的内接三角形， 和 相交于点 ，则与 的相似的三角形是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据同弧和等弧所对的圆周角相等，则 弧所对的圆周角 ， 和 是对顶角，所以 ．
【详解】
解： ，
，
故选： ．
【点睛】
考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．
【详解】
如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2 ，
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CE= BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
【详解】
解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ADC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝ AD，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，
∴AD＝CD＝BD，
由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，
∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE∽△ABC，可判断A的正误；由△CEF∽△CAB，可判定B错误；由△ADE～△EFC，可判定C正确；由△CEF∽△CAB，可判定D错误.
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，
∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，
∴AC′＝AQ＝AC，
由△AEC∽△BDQ得： ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
【点睛】
考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将 转化为 ，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．
∴△CEF∽△CAB，
∴ ，
∴答案D错舍去；
故选C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．
8．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则 的值为（ ）
11．平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为P′（ a+1， b﹣1）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，则用等式表示S1与S2的关系为（ ）
A．S1 S2B．S1 S2C．S1＝2S2D．S1＝4S2
A．①②④B．①③④C．②③④D．①③
【答案】B
【解析】
【分析】
①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断．
②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断．
③正确．设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断．
④正确．求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∵EC平分∠DCB，
∴∠ECB= ∠DCB=60°，
∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，
∴△ECB是等边三角形，
∴EB=BC，
∵AB=2BC，
由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，
即：( a+x)2=( a)2+(a-x)2解得：x＝
∴BG＝2AG，
故②正确；
∵BE＝EF，
∴△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，
∴△EBF与△DEG不相似，
故③错误；
连接CF，
∵BE＝CE，
∴BE＝ BC，
∴S△BFC＝2S△BEF．
故④错误，
【详解】
解：如图所示：
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴答案A错舍去；
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴答案B舍去
∵∠ADE＝∠B，∠CFE＝∠B，
∴∠ADE＝∠CFE，
又∵∠AED＝∠C，
∴△ADE～△EFC，
∴ ，C正确；
又∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A，∠CFE＝∠B，
13．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则 ＝（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OE、OF、OC，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF＝∠FOE，证明△EOF∽△ECO，利用相似三角形的性质即可解答．
9．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．
A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用相似三角形的判定与性质得出 ，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．
【详解】
过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
∴EA=EB=EC，
∴∠ACB=∠AOE=∠ACB=90°，
∴EO⊥AC，故①正确，
∵OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴ ，
∴OF= OB，
∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误，
设BC=BE=EC=a，则AB=2a，AC= a，OD=OB= a，
∴ ，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2 ，
∴AB=3，
∴ ，
∴ ，
∴DF= ，
故选D．
【点睛】
此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．
10．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，可判断①的正误；设正方形ABCD的边长为a，AG＝FG＝x，BG＝a−x，根据勾股定理得到x＝ a，得到BG＝2AG，故②正确；根据已知条件得到△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，于是得到△EBF与△DEG不相似，故③错误；连接CF，根据三角形的面积公式得到S△BFC＝2S△BEF．故④错误．
∴BD= a，
∴AC：BD= a： a= ：7，故③正确，
∵OF= OB= a，
∴BF= a，
∴BF2= a2，OF•DF= a• a2，
∴BF2=OF•DF，故④正确，
故选：B．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
2．如图， 为 的直径， 为 上一点，弦 平分 ，交弦 于点 ， ， ，则 的长为（）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD，证明△DCE∽△DAC，根据相似三角形的性质求出AD，结合图形计算，得到答案．
人教版初中数学图形的相似全集汇编
一、选择题
1．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）