＋
a4＝9，a2a3＝8，则数列an的前 n 项和等于________．
解析：设等比数列的公比为 q，则有aa121＋ ·q3a＝1q83，＝9，
解得aq1＝＝21，
a1＝8， 或q＝12.
又an为递增数列，∴aq1＝＝21，， ∴Sn＝11－－22n＝2n－1.
答案：2n－1
7．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中 λ 为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在 λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1， an＋1an＋2＝λSn＋1－1. 两式相减得 an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 由于 an＋1≠0，所以 an＋2－an＝λ.
4．(2015·陕西高考)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列， 其末项为 2 015，则该数列的首项为________．
解析：设数列首项为 a1，则a1＋22 015＝1 010，故 a1＝5.
答案：5
5．(2015·湖南高考)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1＝1，且 3S1,2S2，S3 成等差数列，则 an＝________.
2．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差 d 不பைடு நூலகம்零，前
n 项和是 Sn，若 a3，a4，a8 成等比数列，则( )
A．a1d＞0，dS4＞0
B．a1d＜0，dS4＜0
C．a1d＞0，dS4＜0
D．a1d＜0，dS4＞0
解析：选 B ∵a3，a4，a8 成等比数列，∴a24＝a3a8，∴(a1 ＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展开整理，得－3a1d＝5d2，即 a1d ＝－53d2.∵d≠0，∴a1d＜0.∵Sn＝na1＋nn2－1d，∴S4＝4a1＋
解析：因为 3S1,2S2，S3 成等差数列，所以 4S2＝3S1＋S3， 即 4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得aa32＝3，即等比数列{an} 的公比 q＝3，故 an＝1×3n－1＝3n－1.
答案：3n－1
6．
(2015·安徽高考
)已知
数列
a 是递增的
n
等比
数列
，a1
－Sn－1＝23an＋13－23an－1＋13＝23an－23an－1, 所以 an＝－2an－1， 所以数列{an}为以 1 为首项，以－2 为公比的等比数列，所以 an＝(－2)n－1.
答案：(－2)n－1
3．(2014·辽宁高考)设等差数列{an}的公差为 d，若数列 {2a1an}为递减数列，则( )
答案：14
考点二：等差数列与等比数列
1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.
已知 S3＝a2＋10a1，a5＝9，则 a1＝( )
1 A.3
B．－13
1 C.9
D．－19
解析：选 C 由题知 q≠1，则 S3＝a111－－qq3＝a1q＋10a1，
得 q2＝9，又 a5＝a1q4＝9，则 a1＝19，故选 C.
A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0
解析：选 C ∵数列{2a1an}为递减数列，a1an＝a1[a1＋(n －1)d]＝a1dn＋a1(a1－d)，等式右边为关于 n 的一次函数， ∴a1d<0.
4．(2015·江苏高考)设数列{an}满足 a1＝1，且 an＋1－an＝n ＋1(n∈N*)，则数列a1n前 10 项的和为________．
答案：12
2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝23an
＋13，则{an}的通项公式是 an＝________. 解析：当 n＝1 时，由已知 Sn＝23an＋13，得 a1＝23a1＋13，即
a1＝1；当 n≥2 时，由已知得到 Sn－1＝23an－1＋13，所以 an＝Sn
解析：法一(直接递推归纳)：等腰直角三角形 ABC 中，斜 边 BC＝2 2，所以 AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝ 2，A1A2＝a3 ＝1，…，A5A6＝a7＝a1× 226＝14.
法二(求通项)：等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC＝2 2， 所以 AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝ 2，…，An－1An＝an＋1＝sinπ4·an ＝ 22an＝2× 22n，故 a7＝2× 226＝14.
解析：由题意有 a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝ n(n≥2) ． 以 上 各 式 相 加 ， 得 an － a1 ＝ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n ＝ n－122＋n＝n2＋2n－2.又∵a1＝1，∴an＝n2＋2 n(n≥2)．
∵当 n＝1 时也满足此式，∴an＝n2＋2 n(n∈N*)． ∴a1n＝n2＋2 n＝2n1－n＋1 1. ∴S10＝2×11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×1－111＝2110. 答案：2110
5．(2014·安徽高考)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜 边 BC＝2 2.过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 A1 ；过点 A1 作 AC 的垂线，垂足为 A2；过点 A2 作 A1C 的垂线，垂足为 A3 ；…， 依此类推．设 BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则 a7＝________.
考点一：数列的概念及表示 1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)数列 {an}满足 an＋1＝1－1an , a8 ＝2，则 a1 ＝________.
解析：将 a8＝2 代入 an＋1＝1－1an，可求得 a7＝12；再将 a7 ＝12代入 an＋1＝1－1an，可求得 a6＝－1；再将 a6＝－1 代入 an＋1 ＝1－1an，可求得 a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数 列，且周期为 3，所以 a1＝a7＝12.
6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－23d2＜0.
3．(2014·天津高考)设{an}是首项为 a1，公差为－1 的等差
数列，Sn 为其前 n 项和．若 S1，S2，S4 成等比数列，则 a1＝( )
A．2
B．－2
1 C.2
D．－12
解析：选 D 由 S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6 成等比 数列可得(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得 a1＝－12.