第四讲
数学归纳法
考点一 用数学归纳法证明等式 一、基础知识要记牢
1．用数学归纳法证明等式的规则 (1)用数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺 一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递 推依据． (2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项， 并注意初始值 n0 是多少，同时第二步由 n＝k 到 n＝k＋1 时要充 分利用假设，不利用 n＝k 时的假设去证明，就不是数学归纳法． 2．掌握恒等变形常用的方法 (1)因式分解；(2)添拆项；(3)配方法．
则当 n＝k＋1 时，1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k＋ 2k1＋1－2k1＋2
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1－2k1＋2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k1＋1＋2k1＋2. 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
数学归纳法可以证明与自然数有关的恒等式问题，其关键 在于第二步，不妨设命题为 Pn：“fn＝gn”，其第二步 相当于做一道有关条件等式的证明题：“已知 fk＝gk，求 证：fk＋1＝gk＋1”.这一证明过程通常分三步：1找出 fk ＋1与 fk的递推关系；2把归纳假设 fk＝gk代入；3作 恒等变形化为 gk＋1.
则当
n＝k＋1
时
，
1 1×3
＋
1 3×5
＋
…
＋
1 2k－12k＋1
＋
1 2k＋12k＋3
＝
k 2k＋1
＋
1 2k＋12k＋3
＝
k2k＋3＋1 2k＋12k＋3
＝
22kk＋2＋132kk＋＋13＝2kk＋＋13＝2kk＋＋11＋1，
所以当 n＝k＋1 时，等式也成立，
由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
二、经典例题领悟好 [例 1] (2017·金华模拟)求证 1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝
n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n(n∈N*)．
[解] (1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12， 右边＝1＋1 1＝12，左边＝右边． (2)假设 n＝k 时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k＝ k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k，
考点二 用数学归纳法证明不等式 一、基础知识要记牢
1．数学归纳法证明不等式的适用范围 当遇到与正整数 n 有关的不等式证明问题，应用其他方 法不容易求证时，则可考虑应用数学归纳法． 2．数学归纳法证明不等式的关键 用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 成立，推证 n ＝k＋1 时也成立，用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、 求差(求商)比较法、放缩法等证明．
三、预测押题不能少
2．已知数列{an}，an≥0，a1＝0，an2＋1＋an＋1－1＝an2.求证：当 n ∈N*时，an<an＋1. 证明：(1)当 n＝1 时，因为 a2 是方程 a22＋a2－1＝0 的正根， 所以 a2＝ 52－1，即 a1<a2 成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak＜ak＋1， 所以 a2k＋1－ak2＝(ak2＋2＋ak＋2－1)－(a2k＋1＋ak＋1－1) ＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0， 又 ak＋1>ak≥0，ak＋2＋ak＋1＋1>0， 所以 ak＋2－ak＋1>0，所以 ak＋1<ak＋2， 即当 n＝k＋1 时，an<an＋1 也成立． 根据(1)和(2)，可知 an<an＋1 对任何 n∈N*都成立．
2k＋1 2.
则当 n＝k＋1 时，1＋131＋15·…·1＋ 2k1－11＋2k＋11－1
>
2k2＋1·22kk＋＋12＝2
2k＋2 2k＋1
＝
4k2＋8k＋4 2 2k＋1 >
4k2＋8k＋3 2 2k＋1
＝
2k2＋23k＋2k1＋1＝
2k＋1＋1
2
.
∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立．
三、预测押题不能少
1．用数学归纳法证明：对任意的
n
∈
N*
，
1 1×3
＋
1 3×5
＋
…
＋
2n－112n＋1＝2nn＋1. 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3＝13，右边＝2×11＋1＝13，
左边＝右边，等式成立．
(2)假设当 n＝k(k∈N*且 k≥1)时等式成立，
即有1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2kk＋1，
用数学归纳法证明与正整数有关不等式的第二步，即已知 fk>gk，求证 fk＋1>gk＋1，对这个条件不等式的证明， 应注意灵活运用证明不等式的一般方法.对于较简单的命题， 其基本格式为：fk＋1>fk＋Ak>gk＋Ak>gk＋1.
具体证明过程中要注意以下三点： 1先作等价变换； 2活用起点位置； 3瞄准当 n＝k＋1 时的递推目标，有目的地放缩、分析.
二、经典例题领悟好
பைடு நூலகம்
[例 2] 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，
不等式1＋131＋15·…·1＋2n1－1> 2n2＋1均成立．
[证明]
(1)当
n＝2
时，左边＝1＋13＝43；右边＝
5 2.
∵左边>右边，∴不等式成立．
(2)假设 n＝k(k≥2，且 k∈N*)时不等式成立，
即1＋131＋15·…·1＋2k1－1>