成都市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,3,4M =，{}3,4N =，则()UM N ⋃=（ ）A ．{}2,3,4B ．{}1,2,5C ．{}3,4D ．{}1,52．下列函数中，与函数y x =相等的是（ ） A．y =B．3y =C．4y =D ．2x y x=3．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且45cox α=-． 若角α的终边上有一点(),3P x ，则x 的值为（ ） A ．4-B ．4C ．3-D ．34．设函数()()222,3,log 1, 3.x e x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩则()()0f f 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．31e -D ．21e -5．已知扇形的圆心角为30°，面积为3π，则扇形的半径为（ ） A．B ．3C．D ．66．函数()ln 29f x x x =+-的零点所在区间是（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,57．已知函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则函数()f x 的递减区间是（ ） A ．()7,Z 1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．()5,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．(),Z 63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()5,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦8．函数()233x x f x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()2sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，先将函数()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移3π个单位长度，最后得到函数()y g x =的图象，则6g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B C ．0D ．10．已知函数()2112x ax f x +-=在[]1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]2,4B ．[)2,-+∞C ．[]4,2--D ．(],4-∞-11．若126a -=，3log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<12．设函数()21lg 111x x f x x x -=-++-，()()1212g x f x f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．若()g x 的值不小于0，则x 的取值范围是（ ） A ．3,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．3111,,4224⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1130,,224⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪⎥⎝⎭⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13．计算tan330︒的值为______． 14．已知函数211x y a-=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点()00,P x y ，则0x 的值为______．15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-．若实数t 满()()213f t f t +≤-，则t 的取值范围是______．16．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，且将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度后与原来的图象重合．当()0,4x π∈时，使得不等式()12f x ≤成立的x 的最大值为______． 三、解答题：17．计算下列各式的值： （Ⅰ）()23232021 1.538-⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）2log 31lg2ln 100+- 18．已知tan 2θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭． （Ⅰ）求sin θ，cos θ的值；（Ⅱ）求()()2sin sin 2cos 2cos 2ππθθππθθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值．19．已知函数()2121xf x =-+． （Ⅰ）用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数； （Ⅱ）当[]x 1,3∈时，求函数()()3log g x f x =的最值．20．1986年4月26日，一场地震造成乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸并引起大火．这一事故导致约8吨的强辐射物严重泄露，事故所在地被严重污染．主要辐射物是锶90，它每年的衰减率为2.47%，经专家模拟估计，辐射物中锶90的剩余量低于原有的8.46%时，事故所在地才能再次成为人类居住的安全区；要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年．设辐射物中原有的锶90有()08a a <<吨．（Ⅰ）设经过()*N t t ∈年后辐射物中锶90的剩余量为()P t 吨，试求()P t 的表达式，并计算经过800年后辐射物中锶90的剩余量；（Ⅱ）事故所在地至少经过多少年才能再次成为人类居住的安全区？（结果保留为整数） 参考数据：ln0.0846 2.47=-，ln0.97530.03=-． 21．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最小值为2-，其图象经过点()0,1-，且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为2π． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若关于x 的方程()0f x k -=在11,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个实数根1x ，2x ，求实数k 的取值范围，并求出12x x +的值．22．已知函数()f x =R ，其中a 为实数．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，是否存在实数m 满足对任意[]11,1x ∈-，都存在2R x ∈，使得()()1111299331x x x x m f x --++--≥成立？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．D ；2．B ；3．A ；4．B ；5．D ；6．C ；7．A ；8．C ；9．А；10．В；11．A ；12．D 二、填空题 13．-14．12； 15．24,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 16．113π． 三、解答题17．解：（Ⅰ）原式()()2233274912122894πππ-⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=+-+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅱ）原式21log 32211lg102ln 2322e -=+-=-+-=．18．解：（Ⅰ）由tan 2θ=-，得sin 2cos θθ=-． ∵22sin cos 1θθ+=，∴21cos 5θ=． ∵,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴sin 0θ>，cos 0θ<． ∴cos 5θ=-，sin 5θ=． （Ⅱ）原式2sin cos 2tan 1cos sin 1tan θθθθθθ++==-- ∵tan 2θ=-，∴原式41112-+==-+．19．解：（Ⅰ）任取1x ，2R x ∈，且12x x <． 则()()121222112121x x f x f x ⎛⎫-=--- ⎪++⎝⎭()()()1221212222221212121x x x x xx -=-=++++． ∵12x x <，∴1222x x<，即12220x x -<．又∵()()2121210xx++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <． ∴函数()f x 在R 上单调递增．（Ⅱ）令()t f x =，函数()()3log g x f x =化为()3log h t t =． 由（Ⅰ）知当[]1,3x ∈时，函数()f x 单调递增． ∴当1x =时，函数()f x 有最小值()113f =； 当3x =时，函数()f x 有最大值()739f =．∴17,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 又函数()3log h t t =在17,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴当13t =，即1x =时，函数()h t 有最小值1-，即()g x 有最小值1-； 当79t =，即3x =时，函数()h t 有最大值32log 7-+，即()g x 有最大值32log 7-+． 20．解：（Ⅰ）由题意，得()()1 2.47%tP t a =-，*N t ∈． 化简，得()0.9753t P t a =，*N t ∈．∴()8008000.9753P a =．∴经过800年后辐射物中锶90的剩余量为8000.9753a 吨．（Ⅱ）由（Ⅰ），知()0.9753tP t a =，*N t ∈． 由题意，得0.97530.0846ta a <，不等式两边同时取对数，得ln 0.9753ln 0.0846t<． 化简，得ln0.9753ln0.0846t <． 由参考数据，得0.03 2.47t -<-．∴2473t >． 又∵24782.33≈，∴事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区． 21．解：（Ⅰ）由题意，得2A =，122T π=．∴T π=，22Tπω==．∴()()2sin 2f x x ϕ=+．又函数()f x 的图象经过点()0,1-，则2sin 1ϕ=-． 由2πϕ<，得6πϕ=-．∴()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． （Ⅱ）由题意，关于x 的方程()0f x k -=在11,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个实数根1x ，2x ， 即函数()y f x =与y k =的图象在11,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点． 由（Ⅰ）知()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．令26t x π=-，则2sin y t =．∵11,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．则[]2,2y ∈-．其函数图象如图所示．由图可知，实数k 的取值范围为([)2,1,2-⋃．①当[)1,2k ∈时，1t ，2t ，关于2t π=对称，则12122266t t x x πππ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解得1223x x π+=．②当(2,k ∈-时，1t ，2t 关于32t π=对称，则121222366t t x x πππ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得1253x x π+=．综上，实数k 的取值范围为([)2,1,2-⋃，12x x +的值为23π或53π．22．解：（Ⅰ）由题意，函数()f x =的定义域为R ，则不等式2210ax ax -+≥对任意R x ∈都成立． ①当0a =时，10≥显然成立；②当0a ≠时，欲使不等式2210ax ax -+≥对任意R x ∈都成立，则20440a a a >⎧⎨-≤⎩，解得01a <≤． 综上，实数a 的取值范围为[]0,1．（Ⅱ）当1a =时，()f x =∴当R x ∈时，()min 0f x =．令13333xxxxt -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．显然在[]1,1x ∈-上递增，则88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．∴()2993311x x x x m t mt --++--=++．令()21h t t mt =++，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．若存在实数m 满足对任意[]11,1x ∈-，都存在2R x ∈，使得()()1111299331xx x x m f x --++--≥成立，则只需()min 0h t ≥． ①当823m -≤-即163m ≥时，函数()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增． 则()min 864810393h t h m ⎛⎫=-=-+≥ ⎪⎝⎭．解得7324m ≤，与163m ≥矛盾； ②当88323m -<-<即161633m -<<时，函数()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减， 在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．则()22min 10242m m m h t h ⎛⎫=-=-+≥ ⎪⎝⎭． 解得22m -≤≤；③当823m -≥即163m ≤-时，函数()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减． 则()min 864810393h t h m ⎛⎫==++≥ ⎪⎝⎭．解得7324m ≥-，与163m ≤-矛盾． 综上，存在实数m 满足条件，其取值范围为[]2,2-．。