人教版八年级下册第17章《勾股定理》培优提高试题一．选择题（共8小题）1．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5B．a：b：c＝5：12：13D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5A C．∠+∠B＝∠C2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）2 222cm．72cm108B．36cm D A．18cm C．3．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米B．40厘米C．50厘米D．以上都不对＝，则∠B为（＝4，BC）＝4．在△ABC中，∠A30°，AB C．30°或60°D．30°或90°．30A．°B90°5．如图，一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米（即BO＝7米），如果梯子顶部A下滑4米至A，则梯子底部B滑开的距离1BB是（）1A．4米B．大于4米C．小于4米D．无法计算的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直与．为比较6．为边长定理可求得长角边的分别其为斜与，则由勾股，可得．根据“三角形三边关系”．小）亮的这一做法体现的数学思想是（A．分类讨论思想B．方程思想．数形结合思想DC．类此思想是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个“赵爽弦图”7．，则中间小正方形与大正方形的面积差是6直角三角形的两条直角边的长分别是3和）（27D．34A．9B．36C．．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方8，60S＝+S、S、S．若SS+ABCD形、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为311232）则S的值是（230D C．20．BA．12．15小题）二．填空题（共6．9．直角三角形的斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形另一直角边是时，这个三角a，如果a+b，﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于a10．设＞b形为直角三角形．米处折断（未完1米高的小孩，如果大树在距地面4米高的大树，树下有一个11．有一棵9米之外才是安全的．全折断），则小孩至少离开大树扩充为等腰三角形，将△3ABC，°，90AC＝4BC＝＝中，∠△．如图，在12Rt ABCACB．的长为CD为直角边的直角三角形，则AC，使扩充的部分是以ABD．，吸管放进杯里（如cm，高为1213．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm 3.6cm，为节省材料，管长acm．的取值范围是图所示），杯口外面至少要露出222本身就是一个关于a，b，bc＝c的方程，满足这个方程的正整数解（aa14．勾股定理，+b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为．三．解答题（共6小题）15．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD ＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？16．如图，小巷左右两侧是竖着的墙，两墙相距2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．梯长多少米？17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的18．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段AC上，且CE＝CB，若已知BC ＝a，AC＝b，AB＝c，请借助这个图形证明勾股定理．．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以19摆放时，都可以用“面积2灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图°）证明勾股定理（其中∠DAB＝90法”来证明，请你利用图1或图2222．a求证：＝+bc20．阅读下面的材料，然后解答问题：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．我们新定义一种三角形，理解：“是”（填根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？①）或“不是”②若某三角形的三边长分别为1、）（填“是”或“不是”，则该三角形2、奇异三角形．探究：22，则这个三角形是否是奇异三，50c100aa Rt在△ABC中，两边长分别是、c，且＝＝角形？请说明理由．拓展：是奇异三，若a Rt ABC△＞，且＝，＝，＝°，＝中，∠△在Rt ABCC90ABcACbBCab222．c：：a角形，求b参考答案一．选择题（共8小题）222符合勾股定理的逆定理，故△ABC为直角三角形；＝解：A、因为1.52.5+21．【解答】22）x+（x，则（5x）12ca＝5x，b＝12x，＝135B、因为a：b：c＝：12：13，所以可设2，故△ABC）为直角三角形；＝（13xC、因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故△ABC为直角三角形；D、因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．故选：D．2．【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．22，cm＝36∵G的面积是62．＝108cm、G的面积之和为36×3、∴A、B、C、DE、F故选：D．3．【解答】解：此题要分两种情况：10；是直角边时，所需木棒的长是（1）当50＝．50是斜边时，所需木棒的长是302（）当．故选：D解：此题存在两种情况：4．【解答】222cos A+AB?﹣2AC?（1）根据BCAB＝AC°．30＝BC，即∠B＝∠A＝计算得AC＝222﹣2AC?AB+AB?cos A（2）根据BC＝AC＝＝2BC，即∠B＝90°．计算得AC所以本题答案为30°或者90°．故选：D．＝＝24米，BO25，当＝7时，AOAB【解答】5．解：在直角△OAB中，＝OA＝米，20点时，即4当下滑米到A11米，OB∴＝＝151而OB＝7米，所以BB＝8米，大于4米，1米，4故本题答案为大于故选：B．与的大小，根据“三角形三边解6．【答】解：比关较系”，可得，小亮的这一做法体现的数学思想是数形结合思想，故选：D．7．【解答】解：根据题意得：222＝45+6，），大正方形的面积＝＝93小正方形的面积＝（6﹣345﹣9＝36．故选：B．8．【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S＝4m+S，S＝S﹣4m，2213因为S+S+S＝60，321所以4m+S+S+S﹣4m＝60，222即3S＝60，2解得S＝20．2故选：C．二．填空题（共6小题）解：由勾股定理得，直角三角形另一直角边＝＝4，9．【解答】．故答案为：4＝三边等于：因为三角形为直角三角形，所以第解10．【解答】．解：如图，．【解答】11BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC＝4﹣1＝3m，AB＝9﹣4＝5m，＝＝4．ABC在Rt△中，AC＝12．解：分三种情况：【解答】1所示：如图①时，AB＝AD当．由AC⊥BD，可得CD＝BC＝3；②如图2所示：当AD＝BD时，设CD＝x，则AD＝x+3，在Rt△ADC中，由勾股定理得：222，+4）＝x（x+3＝，解得：x＝；∴CD③如图3所示：当BD＝AB时，＝＝5，△Rt ABC中，AB＝在∴BD＝5，；3＝25∴CD＝﹣．或CD综上所述：的长为32或2故答案为：3．或或（12+3.6＝15.6cm）；解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为13．【解答】．（cm）2.5最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×＝5＝16.6（，cm）13+3.6）（＝杯里面部分管长为13cm，总长为．cm16.6≤a≤cm15.6的取值范围是acm故管长故答案为：15.6cm≤a≤16.6cm．14．【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）；第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61），故答案为：（11，60，61）．三．解答题（共6小题）222222，，5．【解答】解：∵4＝+3+12＝51315222，故∠B＝90＝AC°，即AB+BC同理，∠ACD ＝90°，∴S＝S+S ACDABCABCD△四边形△4+×5×3×12＝×＝6+30＝36．答：这块钢板的面积等于36．16．【解答】解：设AC＝x，则BC＝2.2﹣x，由题意，∠DAC＝∠EBC＝90°，2222，BEBC∴AC+AD+＝2222，）x+2.4+2＝（2.2﹣∴x解得x＝0.7，∴CD＝2.5，答：梯长2.5米．＝＝25；解：（1）由勾股定理得，AB17．【解答】×AC＝150（2）△ABC；的面积＝×BC×CD＝150（3）由三角形的面积公式可得，×AB＝＝12则CD．18．【解答】证明∵AC⊥BD，∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∵CA＝CD，CE＝CB，∴△ECD≌△BCA（SAS），∴AB＝ED，∠BAC＝∠EDC，∵∠AEF＝∠DEC，∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠BAC+∠AEF＝∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠AFE＝180°﹣（∠BAC+∠AEF）＝90°，∴DF⊥AB．∴S＝S+S+S ABEBCEACDABD△△△△22，EF?c+b+a＝）＝c（EF++DEc）∵S，＝c?DF＝c（EF ABD△22＝c（EF+EFc∴a）+b，+c?222．＝∴ac+b19．【解答】解：利用图1进行证明：证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b，2+ab，+c＝SS+S+S＝ab∵AEDBCEDABDABC△四边形△△2，）+＝（a又∵Sb BCED四边形22，）（+ca++abb∴ab＝222．c+b∴a＝利用图2进行证明：证明：如图，连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S ADCB四边形2S+＝bab．+＝S ABCACD△△2），（+a＝又∵SS+Sb＝c﹣a DCBADBADCB△△四边形22），（b+abc＝﹣a+∴ba222＝c．∴ab+20．【解答】解：①设等边三角形的边长为a，222，a＝∵a2+a∴等边三角形一定是奇异三角形，故答案为：是；2221∵②，2×（）2＝+∴该三角形是奇异三角形，故答案为：是；222＝50，Rt△ABCc为斜边时，b不是奇异三角形；＝c﹣a探究：当222＝150a，为斜边时，b ＝c+b当∵50+150＝2×100，222c＝2△∴Rt ABC是奇异三角形；∴a+b∴Rt△ABC是奇异三角形°，90＝C中，∠ABC△Rt拓展：222，c+b∴a＝∵c＞b＞a，222222，+，2ac∴2c＜＞b+ab∵Rt△ABC是奇异三角形，222，+＝acb∴22222，ba∴2b+＝a+22，＝2∴ba222，ca+b＝∵22，＝3a∴c222＝1：2：b∴a：：c3．。