第四章1.试求边长为,,a b c （包括外推距离)的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布.设有一边长0.5,0.6a b m c m ===（包括外推距离）的长方体裸堆，0.043,L m =42610m τ-=⨯。

（1）求达到临界时所必须的k ∞；（2）如果功率为15000, 4.01f kW m -∑=，求中子通量密度分布.解:长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为:222222()0a a D k x y zφφφφφ∞∂∂∂++-∑+∑=∂∂∂边界条件：(/2,,)(,/2,)(,,/2)0a y z x b z x y c φφφ===（以下解题过程都不再强调外推距离,可认为所有外边界尺寸已包含了外推距离）因为三个方向的通量拜年话是相互独立的，利用分离变量法：(,,)()()()x y z X x Y y Z z φ=将方程化为：22221k X Y ZX Y Z L∞-∇∇∇++=- 设：222222,,x y z X Y Z B B B X Y Z∇∇∇=-=-=- 想考虑X 方向,利用通解：()cos sin x x X x A B x C B x =+代入边界条件：1cos()0,1,3.5,...2x nx x a n A B B n B a aππ=⇒==⇒=同理可得：0(,,)cos()cos()cos()x y z x y z a a aπππφφ=其中0φ是待定常数。

其几何曲率：22222()()()106.4g B m a b cπππ-=++=(1)应用修正单群理论，临界条件变为：221g k B M∞-= 其中:2220.00248M L m τ=+=1.264k ∞⇒=（2）只须求出通量表达式中的常系数0φ3222002222cos()cos()cos()()a bc a b c f f f f f f VP E dV E x dx y dy z dz E abc a b c πππφφφπ---=∑=∑=∑⎰⎰⎰⎰3182102() 1.00710f f P m s E abcπφ--⇒==⨯∑2.设一重水—铀反应堆的堆芯222221.28, 1.810, 1.2010k L m m τ--∞==⨯=⨯.试按单群理论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中子不泄露几率。

解:对于单群理论：在临界条件下：2222110.781311g m B L B LΛ===++ （或用1k ∞Λ=）对于单群修正理论:2220.03M L m τ=+=22219.33M k B m L-∞-==在临界条件下:2222110.781311g m B M B M Λ===++ (注意：这时能用1k ∞Λ=，实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对不泄露几率产生影响,但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不再是之前的系统了。

）4.设有圆柱形铀—水栅装置，R=0。

50米，水位高度H=1。

0米,设栅格参数为：k ∞=1。

19，L 2=6.6×10-4米2，τ=0.50×10-2米2.（a)试求该装置的有效增殖系数k ；（b)当该装置恰好达临界时,水位高度H 等于多少?（c)设某压水堆以该铀-水栅格作为芯部，堆芯的尺寸为R=1。

66米，H=3。

50米，若反射层节省估算为δr =0。

07米，δH =0.1米。

试求反应堆的初始反应性ρ以及快中子不泄漏几率和热中子不泄漏几率.5。

一个球壳形反应堆，内半径为1R ,外半径为2R ，如果球的内、外均为真空，求证单群理论的临界条件为:11211tan tan 1tan BR BR BR BR BR -=+解答:以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程：2222B r r r φφφ∂∂+=-∂∂边界条件:i 。

1lim 0;x R J →= ii.2()0R φ=(如果不2R 包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖） 球域内方程通解：cos sin ()Br Brr A Cr rφ=+ 由条件i 可得：111111221111cos sin sin cos lim 0r R r R BR BR BR BR J D ABA CBC R R R R φ=→=-∇ =---=1111111111cos sin tan sin cos tan 1BR BR BR BR BR C A A BR BR BR BR BR --⇒==-++由条件ii 可得:由此可见，11211tan tan tan 1BR BR BR BR BR -=+,证毕。

7。

一由纯235U 金属33(18.710/)kg m ρ=⨯组成的球形快中子堆，其周围包以无限厚的纯 238U 33(19.010/)kg m ρ=⨯，试用单群理论计算其临界质量，单群常数如下：23512381: 1.5, 1.78,35.4, 2.51;:0,0.18,35.4f a tr f a tr U b b m v U b m σσσσ--==∑====∑=。

解：以球心为左边原点建立球左边系，对于U-235和U —238分别列单群稳态扩散方程，设其分界面在半径为R 处：255251235:k U L φφ∞--∇=-方程1 288281238:U L φφ-∇=方程2 边界条件：i 。

50lim r φ→<∞ii.58()()R R φφ=iii.5858r R r R D D r rφφ==∂∂ = ∂∂iv.8lim 0r φ→∞= 令2251k B L ∞-=(。

在此临界条件下,既等于材料曲率,也等于几何曲率），球域内方程1通解：555cos sin ()Br Brr A C r rφ=+ 由条件i 可知50A =，所以：5sin ()Brr C rφ=球域内方程2通解：88888exp(/)exp(/)()r L r L r A C r r φ-=+ 由条件iv 可知，所以：888exp(/)()r L r A rφ-=由条件ii 可得：88exp(/)exp(/)sin sin R L R L BRC A C AR R BR--=⇒= 由条件iii 可得：888582885(1)exp()cos sin 11()()exp()sin cos R RD L L BR BR RD C B D A C A R R L R R L D BR BR BR+--=---⇒=-所以（由题目已知参数,5,858,5,81133tr tr tr tr D D ∑=∑⇒===∑∑） 888858(1)exp()exp(/)sin cos (1)sin sin cos sin R R L L D R L R A A BR BR BR BR BR BR BR D BR L +--=⇒-=+-即：8cos sin RBR BR BR L -=88cot(1/)1cos sin arc BL BR BR R BL B -=-⇒=代入数据：328358510 4.7910AN N m M ρ--==⨯328388810 4.8110AN N m M ρ--==⨯,5,5,5,52325,5,5218883555 2.1151 1.3110329.170.1043cot(1/)/2arctan(1/)0.06474421.33f f a a a f v v k L m B m L marc BL BL R mB Bm V R kgσσπρρπ∞--∑===∑==⨯∑∑====-+=====⨯=8.试证明有限高半圆形反应堆中子通量密度分布和几何曲率11(,)()sin cos()x r z r z AJ R H πφμθ=2221()()g x B R Hπ=+ 其中:1 3.89x =是11()J x 的第一个零点，即。

证明：（1）书上图4—8所示的柱坐标系下，单群稳态扩散方程可写为（临界条件下，几何曲率与材料曲率相等)：2222222211,(0,0,/2/2)g B r R H Z H r r r r zφφφφφθπθ∂∂∂∂+++=-≤≤≤≤-≤≤∂∂∂∂边界条件（不考虑外推距离）：i.00r R r φφ== = =II 。

00θθπφφ== = = III./2/20z H z H φφ==- = =(注意,这里不能用线性微分方程解的存在唯一性定理：如果()(1,2,,),()i a t i n f t =⋅⋅⋅/都是区间[],a b 上的连续函数，则对于任一0(,)t a b ∈及任意的(0)(1)(2)(1)0000,,,,n x x x x -⋅⋅⋅方程：()()11()n n n n x a x a x a x f t -'++⋅⋅⋅++=存在唯一解()x t ϕ=定义于区间[],a b 上，且满足初值条件()()00()(0,,1),k k x t x k n ==⋅⋅⋅- 而此扩散方程并非线性微分方程。

）对于表达式：111(,,)()sin cos(), 3.89x r zr z AJ x R Hπφθθ== 不难证明其满足上述全部三个边界条件.11((0)(3.89)0)J J ==（2）将表达式代入方程,其中，已知如下条件： 101,nn n xJ nJ xJ J J -''=-+=- 可推得:101J xJ J x-+'= []10001001110011222212(1)J xJ J J J xJ J J J J xJ J J J x x x x x x x x-+-+''''=-+-++=--+-=--111111110()()()()x r J x r x r x x r R J J J R R r R R'''==-+1220211111111111102211()22()()1()()()()()x r J x r x r x r x x r x r x r x r R J J J J J x r x r R R R R r R R R R RR ⎧⎡⎤⎫⎪⎢⎥⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎡⎤'''''==--=--⎨⎬⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎪⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎭⎩所以：2211111022112()()()x x r x r x r J J r R R R R r x r J R φφ⎡⎤⎛⎫∂--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∂=11110111()()()x r x x r J J r r R Rr R x r J Rφφ∂-+∂=2112221111()()x r J r r R x r J Rφθφ∂∂=-所以：11221121111111002222222111()()211()()()()()()x r x r J J x x r x r x r x r x r R RJ J J x r rR R R R r R R rr r r r x r RJ Rφφφθφ⎡⎤∂∂∂---+-++⎢⎥⎣⎦∂∂∂==-再有：2222cos()()cos()z F H z z H Hππφππφ⎛⎫∂- ⎪⎝⎭∂==- 所以方程为：2221g x B R H π⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知该表达式为方程的解。