【点睛】
木块放在斜面上时正好匀速下滑隐含摩擦系数的数值恰好等于斜面倾角的正切值，当有外力作用在物体上时，列平行于斜面方向的平衡方程，结合数学知识即可解题．
3．如图所示，现有一质量为 、电荷量为 的电子从 轴上的 点以初速度 平行于 轴射出，为了使电子能够经书过 轴上的 点，可在 轴右侧加一垂直于 平面向里、宽度为 的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，该磁场左、右边界与 轴平行，上、下足够宽（图中未画出）．已知 ， ．求磁场的左边界距坐标原点的可能距离．（结果可用反三角函数表示）
高中物理数学物理法技巧(很有用)及练习题含解析
一、数学物理法
1．两块平行正对的水平金属板AB，极板长 ，板间距离 ，在金属板右端竖直边界MN的右侧有一区域足够大的匀强磁场，磁感应强度 ，方向垂直纸面向里。两极板间电势差UAB随时间变化规律如右图所示。现有带正电的粒子流以 的速度沿水平中线 连续射入电场中，粒子的比荷 ，重力忽略不计，在每个粒子通过电场的极短时间内，电场视为匀强电场（两板外无电场）。求：
7．质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)．
(1)当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值；
(2)当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
【答案】(1)mgsin 2θ(2) mgsin 4θ
【答案】
【解析】
试题分析：要使A、B不发生接触，必须满足：当vA=vB时xA－xB<L－r
设A、B物体的加速度分别为aA、aB
由牛顿第二定律有F=maAF=2maB
由运动学公式vA=v0－aAt vB=aBt
xA=v0t－ aAt2xB= aBt2
联立解得：v0<
考点：牛顿第二定律匀变速直线运动规律
（2）若粒子能最终打在磁场区域（边界处有磁场）的左边界 上，求磁场的磁感应强度大小 的取值范围。
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】
【详解】
（1）粒子在加速电场中运动的过程中，根据动能定理有
粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，有
联立以上两式解得
（2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
Ff＝Fcos(α＋θ)
当α＝θ时，F取最小值mgsin 2θ，
Ffm＝Fmincos2θ＝mg·sin 2θcos2θ＝ mgsin4θ.
8．如图所示，电路由一个电动势为E、内电阻为r的电源和一个滑动变阻器R组成。请推导当满足什么条件时，电源输出功率最大，并写出最大值的表达式。
【答案】
【解析】
【分析】
(1)求AC两点间的距离 ；
(2)若将入射光换成蓝光，光线仍从D点垂直OB射出，则入射点C´应在C点的哪侧？
【答案】(1) ；(2)左侧
【解析】
【分析】
【详解】
(1)光路图如图所示
由几何关系知
，
由P点向OC作垂线PE交OC于E点，则有
由
得
则
解得
(2)对于同一介质，蓝光折射率比红光的大。由
可知， 相同，折射率 变大，则 变大。故蓝光入射点 应在C的左侧。
(1)要使带电粒子射出水平金属板，两金属板间电势差UAB取值范围；
(2)若粒子在距 点下方0.05m处射入磁场，从MN上某点射出磁场，此过程出射点与入射点间的距离 ；
(3)所有粒子在磁场中运动的最长时间t。
【答案】(1) ；(2)0.4m；(3)
【解析】
【分析】
【详解】
(1)带电粒子刚好穿过对应偏转电压最大为 ，此时粒子在电场中做类平抛运动，加速大小为a，时间为t1。水平方向上
(1)圆形区域的半径；
(2)油滴在M点初速度的大小。
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【详解】
(1)带电油滴在圆形区域运动，电场力和重力相平衡，在洛伦兹力作用下运动 圆周。根据
得轨迹半径为
设圆形区域的半径为R，由几何关系得
解得
(2)带电油滴在MN段运动时，由牛顿第二定律得
①
由运动规律得
②
由几何关系知
③
②
由加速度公式可得
③
联立①②③式，代入 、 、
解得 ④
(2)游客身上惯性飞出而脱落的物品做平抛运动，水平方向匀速运动
⑤
竖直方向做自由落实体运动
⑥
由线速度公式可知
⑦
由几何关系可得
⑧
⑨
联立②④⑤⑥⑦⑧⑨式，解得落地点到竖直转轴中心线的距离
⑩
14．如图所示，直角坐标系xOy处于竖直平面内，x轴沿水平方向，在y轴右侧存在电场强度为E1、水平向左的匀强电场，在y轴左侧存在匀强电场和匀强磁场，电场强度为E2，方向竖直向上，匀强磁场的磁感应强度 ，方向垂直纸面向外。在坐标为（0.4m，0.4m）的A点处将一带正电小球由静止释放，小球沿直线AO经原点O第一次穿过y轴。已知 ，重力加速度为 ，求：
【解析】
【分析】
【详解】
木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有
mgsinθ＝μmgcosθ
即μ＝tanθ.
(1)木块在力F作用下沿斜面向上匀速运动，有
Fcosα＝mgsinθ＋Ff
Fsinα＋FN＝mgcosθ
Ff＝μFN
解得
F＝ ＝ ＝
则当α＝θ时，F有最小值，为
Fmin＝mgsin2θ.
(2)因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即
代入数据解得：v0=30m/s．
(2)不装弹射系统时，有：v2=2aL，
解得：
(3)设飞机起飞所用的时间为t，在时间t内航空母舰航行的距离为L1，航空母舰的最小速度为v1．
对航空母舰有：L1=v1t
对飞机有：v=v1+at
v2-v12=2a(L+L1)
联立解得：v1=10m/s．
【点睛】解决本题的关键掌握匀变速直线运动的速度位移公式，并能灵活运用，对于第三问，关键抓住飞机的位移等于甲板的长度与航空母舰的位移之和进行求解．
①
竖直方向上
②
又由于
③
联立①②③得
由题意可知，要使带电粒子射出水平金属板，两板间电势差
(2)如图所示
从 点下方0.05m处射入磁场的粒子速度大小为v，速度水平分量大小为 ，竖直分量大小为 ，速度偏向角为θ。粒子在磁场中圆周运动的轨道半径为R，则
④
⑤
⑥
联立④⑤⑥得
(3)从极板下边界射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长。如图所示
由几何关系有：
则磁场左边界距坐标原点的距离为
解得： （其中 ）
（2）当r≤L时，磁场区域及电子运动轨迹如图所示
由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为
解得
【点睛】
本题关键分r＞L和r≤L两种情况讨论，画出轨迹是关键，根据几何关系列方程求解是难点．
4．如图所示，半圆形玻璃砖的半径为R，圆心为O。一束单色光由玻璃砖上的P点垂直于半圆底面射入玻璃砖，其折射光线射向底面的Q点（图中未画出），折射率为 ，测得P点与半圆底面的距离为 。计算确定Q点的位置。
10．如图所示，O点离地面高度为H，以O点为圆心，制作一个半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，小球从与O点等高的圆弧最高点A从静止滚下，并从B点水平抛出，试求：
（1）小球落地点到O点的水平距离.
（2）要使这一距离最大，应满足什么条件?最大距离为多少?
【答案】（1） （2）R= ，smax=H
【解析】
试题分析：（1）小球在圆弧上滑下过程中受重力和轨道弹力作用，但轨道弹力不做功，即只有重力做功，机械能守恒，可求得小球平抛的初速度v0.
解①②③式得
6．我国“辽宁号”航空母舰经过艰苦努力终于提前服役，势必会对南海问题产生积极影响．有些航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号战机在跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0m/s2，当飞机的速度达到50m/s时才能离开航空母舰起飞．设航空母舰处于静止状态．试求：
(1)若要求该飞机滑行160m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
(1)木块刚好可以沿木楔上表面匀速下滑时，mgsinθ＝μmgcosθ，则μ＝tanθ，用力F拉着木块匀速上滑，受力分析如图甲所示，则有：Fcosα＝mgsinθ＋Ff，FN＋Fsinα＝mgcosθ，
Ff＝μFN
联立以上各式解得： ．
当α＝θ时，F有最小值，Fmin＝mgsin 2θ．
(2)对木块和木楔整体受力分析如图乙所示，由平衡条件得，Ff′＝Fcos(θ＋α)，当拉力F最小时，Ff′＝Fmin·cos 2θ＝ mgsin 4θ．
12．如图所示，质量为 、电荷量为 的带正电粒子从 点由静止释放，经电压为 的加速电场加速后沿圆心为 、半径为 的圆弧（虚线）通过静电分析器，并从 点垂直 进入矩形匀强磁场区域 。静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，电场强度的方向均指向 点。 ， ，磁场方向垂直纸面向里，粒子重力不计。
（1）求静电分析器通道内圆弧线所在处电场的电场强度的大小 ；
【详解】
由闭合电路欧姆定律
电源的输出功率
得
有
当R=r时，P有最大值，最大值为
.
9．在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B,质量分别为m和2m,当两球心间的距离大于L时,两球之间无相互作用力，当两球心间的距离等于或小于L时,两球间存在相互作用的恒定斥力F.设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动,如图所示.欲使两球不发生接触, v0必须满足什么条件?
粒子进入磁场速度大小为v1，速度水平分量大小为 ，竖直分量大小为vy1，速度偏向角为α，则对粒子在电场中
⑦
⑧