数列经典例题(裂项相消法)数列裂项相消求和的典型题型1．已知等差数列}{na 的前n 项和为,15,5,55==S a Sn 则数列}1{1+n naa 的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．1011002．数列,)1(1+=n n an其前n 项之和为,109则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{na 的各项均为正数，且6223219,132a a a a a==+．(Ⅰ)求数列}{na 的通项公式；(Ⅱ)设,log log log 32313n na a a b+++= 求数列}1{nb 的前n 项和．4．正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n an n．(Ⅰ)求数列}{na 的通项公式na ； (Ⅱ)令,)1(1nna n b+=求数列}{nb 的前n 项和nT ．5．设等差数列}{na 的前n 项和为nS ，且12,4224+==n n a a S S ．(Ⅰ)求数列}{na 的通项公式；(Ⅱ)设数列}{nb 满足,,211*2211N n a b a b abn n n ∈-=+++求}{nb 的前n 项和nT ．6．已知等差数列}{na 满足：26,7753=+=a a a ．}{na 的前n 项和为nS ．(Ⅰ)求na 及nS ；(Ⅱ)令),(11*2N n a bn n∈-=求数列}{nb 的前n 项和nT ．7．在数列}{na 中nn a na a211)11(2,1,+==+．(Ⅰ)求}{na 的通项公式； (Ⅱ)令,211n n na a b-=+求数列}{nb 的前n 项和nS ；（Ⅲ）求数列}{na 的前n 项和nT ．8．已知等差数列}{na 的前3项和为6，前8项和为﹣4．(Ⅰ)求数列}{na 的通项公式；(Ⅱ)设),,0()4(*1N n q q a bn n n∈≠-=-求数列}{nb 的前n 项和nS ．9．已知数列}{na 满足,2,021==a a且对*,N n m ∈∀都有211212)(22n m a a a n m n m -+=+-+--．(Ⅰ)求53,a a ；(Ⅱ)设),(*1212N n a a bn n n∈-=-+证明：}{nb 是等差数列；（Ⅲ）设),,0()(*11N n q q a a cn n n n∈≠-=-+求数列}{nc 的前n 项和nS ．10．已知数列}{na 是一个公差大于0的等差数列，且满足16,557263=+=a a a a ．(Ⅰ)求数列}{na 的通项公式； (Ⅱ)数列}{na 和数列}{nb 满足等式),(2222*33221N n b b b b an n n∈++++=求数列}{nb 的前n 项和nS ．11．已知等差数列}{na 的公差为2，前n 项和为nS ，且421,,S S S 成等比数列．(1)求数列}{na 的通项公式；∴a n=2n．(Ⅱ)∵a n=2n，b n=，∴b n===，T n===．数列{b n}的前n项和T n为．5．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1有：，解有a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1，n∈N*．(Ⅱ)由已知++…+=1﹣，n∈N*，有：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减有：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．6．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴有，解有a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n；(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n+1，∴b n====，∴T n===，即数列{b n}的前n项和T n=．7．解：(Ⅰ)由条件有，又n=1时，，故数列构成首项为1，公式为的等比数列．∴，即．(Ⅱ)由有，，两式相减，有：，∴．（Ⅲ）由有．∴T n=2S n+2a1﹣2a n+1=．8．解：(Ⅰ)设{a n}的公差为d，由已知有解有a1=3，d=﹣1故a n=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；(Ⅱ)由(Ⅰ)的解答有，b n=n•q n﹣1，于是S n=1•q0+2•q1+3•q2+…+n•q n﹣1．若q≠1，将上式两边同乘以q，有qS n=1•q1+2•q2+3•q3+…+n•q n．上面两式相减，有（q﹣1）S n=nq n﹣（1+q+q2+…+q n﹣1）=nq n﹣于是S n=若q=1，则S n=1+2+3+…+n=∴，S n=．9．解：(Ⅰ)由题意，令m=2，n=1，可有a3=2a2﹣a1+2=6 再令m=3，n=1，可有a5=2a3﹣a1+8=20(Ⅱ)当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可有a2n+3+a2n﹣+81=2a2n+1于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8即b n+1﹣b n=8∴{b n}是公差为8的等差数列（Ⅲ）由(Ⅰ) (Ⅱ)解答可知{b n}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列则b n=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2另由已知（令m=1）可有a n=﹣（n﹣1）2．∴a n+1﹣a n=﹣2n+1=﹣2n+1=2n于是c n=2nq n﹣1．当q=1时，S n=2+4+6++2n=n（n+1）当q≠1时，S n=2•q0+4•q1+6•q2+…+2n•q n﹣1．两边同乘以q，可有qS n=2•q1+4•q2+6•q3+…+2n•q n．上述两式相减，有（1﹣q）S n=2（1+q+q2+…+q n﹣1）﹣2nq n=2•﹣2nq n=2•∴S n=2•综上所述，S n=．10．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，则依题意可知d ＞0由a 2+a 7=16， 有，2a 1+7d=16①由a 3a 6=55，有（a 1+2d ）（a 1+5d ）=55②由①②联立方程求，有d=2，a 1=1/d=﹣2，a 1=（排除） ∴a n =1+（n ﹣1）•2=2n ﹣1 (Ⅱ)令c n =，则有a n =c 1+c 2+…+c n a n+1=c 1+c 2+…+c n+1 两式相减，有a n+1﹣a n =c n+1，由（1）有a 1=1，a n+1﹣a n =2 ∴c n+1=2，即c n =2（n ≥2）， 即当n ≥2时，b n =2n+1，又当n=1时，b 1=2a 1=2 ∴b n =于是S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6，n ≥2，．11．解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)． 当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T n ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n 2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1) 12．(1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0， 由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0. 所以S n ＝n 2＋n (n ∈N *)． n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式． ∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)证明 由a n ＝2n (n ∈N *)得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1n 2－1(n ＋2)2 T n ＝116⎣⎢⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122－142＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132－152＋… ⎦⎥⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1n 2－1(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋122＝564(n ∈N *)． 即对于任意的n ∈N *，都有T n <564.。