2 2
D { N (t )} = E [ N (t )] − ⎡ ⎣ E { N (t )}⎤ ⎦ = λt
2
{
}
自相关函数
⎧λ t + λ 2t1t2 R (t1 , t2 ) = E { N (t1 ) N (t2 )} = ⎨ 2 2 ⎩ λ t1 + λ t1t2
假设 t1 < t2 ，有
t1 ≥ t2 t1 ≤ t2
2
= λt1 + λt1 ⋅ λt2
总结起来，有
E{N (t1 ) N (t2 )} = λ ⋅ min [t1 , t2 ] + λt1 ⋅ λt2
自协方差函数
C (t1 , t2 ) = E { N (t1 ) N (t2 )} − E { N (t1 )} E { N (t2 )} = λ min(t1 , t2 ) = λ t1U (t2 − t1 ) + λ t2U (t1 − t2 )
2 泊松过程的基本概念
定义，设有一个计数过程{N(t), t>0}满足下列假设，称为泊松过程， 1. 在 t=0 时，N(t)=0； 2. 该过程是独立增量计数过程； 3. 该过程是平稳增量计数过程； 4. 在（t, t+Δt）内出现一个事件的概率为 λΔt + 0(Δt)，λ为一常数，在（t, t+Δt） 内出现两个或两个以上事件的概率为 0(Δt)，即 P{ N(t+Δt) - N(t)>1}=0(Δt)
P { N (t ) = n + k / N ( s ) = k } = P { N (t ) − N ( s ) = n / N ( s ) = k} = P { N ( s + Δt ) − N ( s ) = n} = Pn (t ) = (λ ⋅ Δt ) n − λ ⋅Δt e n!
3. 泊松分布的统计特征
⎡ d d ⎤ ⎡ d d ⎤ = ⎢ z z Φ ( z ) ⎥ = ⎢ z z e − λt (1− z ) ⎥ ⎣ dz dz ⎦ z =1 ⎣ dz dz ⎦ z =1 d 2 zλ te − λt (1− z ) ⎤ =z ⎡ = ⎡ zλ te − λt (1− z ) + z 2 ( λ t ) e− λt (1− z ) ⎤ ⎣ ⎦ z 1 = ⎣ ⎦ z =1 dz = λt + ( λt )
泊松过程
计数过程 泊松过程的基本概念 泊松过程的统计特征 泊松分布的几个问题 非齐次泊松过程 泊松过程的和、差 复合泊松过程 泊松过程举例
1 计数过程
定义，在（0, t）内出现事件 A 的总数所组成的过程{N(t), t>0}称为计数过程。 计数过程{N(t), t>0}满足下列条件： N(t)>0； N(t)是一个正整数； 如果有两个时刻 s, t，且 s<t，则 N(s)< N(t)； 如果有两个时刻 s, t，且 s<t，则 N(t)-N(s)代表时间间隔（s, t）内事件 A 出现的次 数。 独立增量计数过程， 在不相交的时间间隔内出现事件 A 的次数是相互统计独立的。 平稳（齐次）增量计数过程， 在时间间隔（t, t+s）内出现事件 A 的次数[N(t+s)-N(t)]仅与 s 有关而与 t 无关。
λ se −λ s ⋅ e −λ (t − s ) s = = t λ te −λ t
相应在时间间隔（0，t）内事件发生的概率密度是 1/t。 结论：如果已知在(0,t)内发生 n 次事件，则 n 次事件的发生时间是 n 个独立同分布的随 机变量的顺序序列，每一随机变量均匀分布于(0,t)内。
时间间隔（0，t2）内发生 n 个事件时， (0,t1<t2)内发生 k 次事件的概率
∞
∫ dxλ ⋅e
1 0
−λ 1 x
⋅ e− λ2 x + λ 2 )e − ( λ 1 + λ 2 ) x
∞ λ1 ⋅ = ⋅ dx ⋅(λ (λ 1 + λ 2 ) ∫ 0 λ1 ⋅ = ⋅ (λ 1 + λ 2 )
1
第一个过程的第 k 个事件先于第二个过程的第一个事件的概率
有两个相互独立的泊松过程{N1(t), t>0}及{N2(t), t>0}， 它们在单位时间内出现事件的平 均数分别是λ1，λ2，设 t1k,t21,分别是两个过程出现第一次事件的时刻，求第一个过程的 第 k 个事件先于第二个过程的第一个事件的概率，即 Pr{ t1k < t21}。 首先考虑第一个过程第 k 个事件在时刻(x+dx)发生，而第二个过程在（0,x）时间内不发 生任何事件的概率密度，再考虑 x 从 0 到∞的积分。
泊松分布的母函数，
(λ t ) n − λ t e n!
Ψ ( z ) = ∑ Pn z n = ∑
n =0
∞
(λ t ) n − λ t n e z = e − λ t (1− z ) n ! k =0
∞
对于给定的时刻 s、t，且 s<t， t = s + Δt ，以及相应的 N(s)、N(t)，转移概率分布为，
∞
∫ dxλ1 ⋅
0
(λ 1 x) k −1 − λ 1 x − λ2 x e ⋅e (k − 1)! ⎞ ⎟ (λ 2 ⎠ ⎞ ⎟ 2 ⎠
k k 1 + λ 2 ) ⋅ ∫ dx ⋅ 0 ∞
⎛ λ1 ⋅ =⎜ ⎝ λ 1 +λ ⎛ λ1 ⋅ =⎜ ⎝ λ 1 +λ
[(λ
1
+ λ 2 ) x]k −1 − ( λ 1 + λ 2 ) x e (k − 1)!
考虑条件概率， P [ N (t1 ) = k | N (t2 ) = n ] ,
t1 ≤ t2 , k = 0,1," , n
P { N (t1 ) = k | N (t2 ) = n} = =
P { N (t1 ) = k , N (t2 ) = n} P { N (t2 ) = n}
P { N (t1 ) = k , N (t2 − t1 ) = n − k} P { N (t2 ) = n}
(λ τ ) n −1 − λ τ f (τ ) = λ ⋅ e (n − 1)!
时间间隔（0，t）内发生一个事件，事件发生时间的概率密度
泊松过程{N(t), t>0}在（0,t）内有一个事件出现，它的到达时间 s 的概率密度分布
P[ N ( s ) = 1 / N (t ) = 1] =
P[ N ( s ) = 1] ⋅ Pr [ N (t ) = N ( s )] P[ N (t ) = 1]
Pn (t + Δt ) = Pn (t ) P0 (Δt ) + Pn −1 (t ) P n ≥1 1 ( Δt ) + ∑ P k (t ) P n − k ( Δt ),
k =0
n−2
即： Pn (t + Δt ) = Pn (t )(1 − λ Δt ) + Pn −1 (t )λ Δt + 0(Δt ), 整理上述
第一个过程的第一个事件先于第二个过程的第一个事件的概率
有两个相互独立的泊松过程{N1(t), t>0}及{N2(t), t>0}， 它们在单位时间内出现事件的平 均数分别是λ1，λ2，设 x,y,分别是两个过程出现第一次事件的时刻，求第一个过程的第一 个事件先于第二个过程的第一个事件的概率，即 Pr{ x<y}, 首先考虑第一个过程第 1 个事件在时刻(x+dx)发生，而第二个过程在（0,x）时间内不发 生任何事件的概率密度，再考虑 x 从 0 到∞的积分。
5 非齐次泊松过程
定义，计数过程{N(t), t>0}满足下列条件，称它为非齐次泊松过程， 1. 在 t=0 时，N(t)=0； 2. 该过程{N1(t), t>0}是独立增量计数过程； 3. P{ N(t+Δt) - N(t)>1}=0(Δt)； 4. P{ N(t+Δt) - N(t)=1}=λ(t) Δt + 0(Δt)。 递推微分方程，
⎡d ⎤ = ⎢ e − λt (1− z ) ⎥ = λt ⎣ dz ⎦ z =1
方差：
E [ N (t ) ] = ∑ k 2 P ( N (t ) = k )
2 k =0
{
}
∞
= ∑ k 2 P( N (t ) = k ) ⋅z k
k =0
∞
z =1
=z
d d ⎡∞ ⎤ z ⎢ ∑ P( N (t ) = k ) ⋅z k ⎥ dz dz ⎣ k =0 ⎦ z =1
E{N (t1 ) N (t2 )} = E{N (t1 ) N (t1 ) + N (t1 ) [ N (t2 ) − N (t1 ) ]} = E{N (t1 ) N (t1 )} + E{N (t1 )} ⋅ E{[ N (t2 ) − N (t1 ) ]} = λt1 + ( λt1 ) + λt1 ⋅ λ ( t2 − t1 )
Pn (t ) = Pr [N (t ) − N (0) = n]
泊松过程的递推微分方程： 令 Pn (t ) = P [ N (t ) − N (0) = n ] 表示在间隔 t 的时间内发生 n 次事件的概率。 对于泊松过程，在(0,t+Δt)内不出现事件，等价于在(0,t)间隔内不出现事件以及在
均值：
E { N (t )} = ∑ n ⋅ pn (t ) = λt
n=0
∞
∞
E { N (t )} = ∑ kP( N (t ) = n) = ∑ nP( N (t ) = n) ⋅z n
n=0 n=0
∞
z =1