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全等三角形培优专题训练(供参考)

八年级数学培优专题训练(二)探索三角形全等的条件1、一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张纸片摆成如下图形式,使点B 、F 、C 、D在同一条直线上.⑴求证:AB ⊥ED ;⑵若PB =BC ,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明2、如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,AD 平分∠BAC ,BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ,E 为垂足,则结论:①AD =BF ;②CF =CD ;③AC +CD =AB ;④BE =CF ;⑤BF =2BE.其中正确的是( )3、如图,点C 在线段AB 上,DA ⊥AB ,EB ⊥AB ,FC ⊥AB ,且DA =BC ,EB =AC ,FC =AB ,∠AFB =51°,求∠DFC 的度数.A4、如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,O为对角线AC的中点,过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N,点E、F在直线M、N上,且OE=OF.⑴图中共有几对全等三角形,请把它们都写下来;⑵求证:∠MAE=∠NCF5、在△ABC中,高所在直线AD和BE交于H点,且BH=AC,则∠ABC=_____________.6、下列三个判断:⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;⑶一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等.上述判断是否正确?若正确,说明理由;若不正确,请举出反例.E八年级数学培优专题训练(三)全等三角形的应用全等三角形常用来转移线段和角,用它来证明:①线段和角的等量关系②线段和角的和差倍分关系③直线与直线的平行或垂直等位置关系1、如图,已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在并证明.2、如图,AD是△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且BF=AC,FD=CD,求证:BE⊥AC3、(2012·阜新中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAC=90°.⑴当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量和位置关系?证明你猜想的结论.⑵将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图②,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?问明理由.B②4、在△ABC中,AB=AC,点D是直线 BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.⑴如图①,当点D在线段BC上时,若∠BAC=90°,则∠BCE=_______度.⑵设∠BAC=α,∠BCE=βa、如图②,当点D在线段BC上移动时,α,β之间有怎样的数量关系?请说明理由.b、当点D在直线BC上移动时,α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.①②辅助线作法之连接法在几何证明中,常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有:连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.1、如图,△ABC的两条高BD,CE相交于点P,且PD=PE.证明∶AC=AB2、已知AB=DE,BC=EF,∠B=∠E,AF=CD求证:AC∥DF3、如图,AB交CD于点O,AD、CB的延长线相交于点E,且OA=OC,EA=EC.∠A=∠C吗?点O在∠AEC的平分线上吗?A辅助线作法之倍长中线法在题目条件中含有中线的问题,我们常用的辅助线就是将中线延长一倍,其目的是为了得一对全等三角形,将分散的条件集中到一个三角形中去.1、△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围.2、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,又是BC上的中线求证:AB=AC3、(2014·襄阳初三模拟)在△ABC中,D是边BC上的一点,且CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE是△ABD的中线.求证∶AC=2AEB文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.4、(竞赛014)△ABC中,D为BC的中点,DE⊥DF交AB,AC于点E,F.求证:BE+CF>EF6、(竞赛015)例:已知AD是△ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且AE=EF.求证:AC=BFB辅助线作法之截长补短法截长法:在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条,再证明剩余部分与另一条相等. 补短法:把两条线段中的一条补到另一条线段上去,证明所得新线段与第三条线段相等. 1、已知AC ∥BD ,EA ,EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ,点E 在CD 上.求证:AB =AC +BD2、在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB 于点E ,且AE =½(AB +AD ).求证∶∠B +∠D =180°3、如图,已知△ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,D 为AC 的中点,AE ⊥BD 于E ,延长AE 交BC 于F.求证:∠ADB =∠CDF4、如图,∠C =90°,AC =BC ,AD 是∠BAC 的角平分线. 求证∶AC +CD =AB12、如图,已知AB =CD =AE =BC +DE =2,∠ABC =∠AED =90°,求五边形ABCDE 的面积.AB辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形2、(2012·“华罗庚杯”)如图,在△ABC 中,AC =½AB ,AD 平分∠BAC ,且AD =BD求证:CD ⊥AC八年级数学培优专题训练(八)全等三角形在动态几何中的运用1、(竞赛·014·3)如图,△ABC 的边BC 在直线l 上,AC ⊥BC ,且AC =BC.△EFP 的边FP 也在直线l 上,边EF 与边AC 重合,且EF =FP.⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系; ⑵将△EFP 沿直线l 向左平移到图②的位置时,EP 交AC 于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想;⑶将△EFP 沿直线l 向左平移到图③的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为⑵中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.B探究角平分线一、知识清单角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线.三角形的角平分线定义:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线). 由定义可知,三角形的角平分线是一条线段.角平分线性质:1、角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.2、角平分线分得的两个角相等,都等于该角的一半.3、三角形的三条角平分线交于一点,且到各边的距离相等,这个点称为内心.二、方法点拨证明角平分线有两种方法:一是运用定义证明两个角相等;二是运用角平分线的判定方法.三、规律清单①遇到角平分线,可从角平分线上的某一点向角的两边作垂线段(图1).②遇到角平分线,常可利用翻折法或截长补短法解题(图2).③有两条角平分线(内角或外角)交于一点,则连接该点与三角形第三个顶点的线段会平分一个内角或外角(图3).④有垂直于角平分线的线段,则延长这条线段以利用三线合一解题(图4).⑤遇到角内的一点到角的两边有垂线段时,就连接这点与角的顶点,看能否平分已知角(图5).⑥遇到有多条角平分线时,可尝试用整体的思想解题(图6).⑦有翻折条件时,除注意全等的结论,还应关注折线就是角平分线、是对称轴(如图7).⑧角平分线、平行线、等腰三角形三个条件中出现任意两个,常可直接得到另一个(如图8).四、真题训练1、(2011·鄂州·竞赛·018 ·重庆中考)如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP=_____________.2、(竞赛·019)如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.求证:AM平分∠DABB3、(竞赛·019)如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC,BE 平分∠ABC,CE ⊥BE.求证:CE =12BD4、如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,BD =CD 求证:∠B =∠C5、如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,AD 是∠BAC 的平分线,交BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,若AB =10cm ,则△DBE 的周长是多少?6、(2011,恩施中考)AD 是△ABC 的角平分线,DF ⊥AB ,垂足为F ,DE =DG ,△ADG 和△AED 的面积分别为50和39,则△EDF 的面积为多少?B7、如图,△ABC 中,AD 平分∠BAC ,DG ⊥BC 且平分BC ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F.求证:BE =CF8、在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且∠EDF +∠BAF =180°⑴求证:DE =DF⑵如果把最后一个条件改为AE >AF ,且∠AED +∠AFD =180°,那么结论还成立吗? 9、如图,已知AB =AC ,BE ⊥AC 于E ,CF ⊥AB 于F ,BE 与CF 交于点D 求证:点D 在∠BAC 的平分线上.10、如图,在四边形ABCD 中,对角线AC 平分∠BAD ,AB >AD ,下列结论正确的是( )A.AB -AD >CB -CDB.AB -AD =CB -CDC.AB -AD <CB -CDD.AB -CD 与CB -CD 的大小关系不确定11、(竞赛014)如图,已知△ABC 中,∠B =60°,∠BAC ,∠BCA 的平分线AD ,CE 相交于点O.求证:DC +AE =AC12、(竞赛·019)如图,已知△ABC ,P 为内角平分线AD 、BE 、CF 的交点,过点P 作PG ⊥BC 于G 点。

试说明∠BPD 与∠CPG 的大小关系,并说明理由。

B八年级数学培优专题训练(十)应用线段垂直平分线的性质和判定解题一、知识清单定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

线段垂直平分的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

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