趣味棋子游戏中的数学
朋友，你可玩过游戏么？你可知道身边熟悉的游戏也许都蕴涵着数学知识？今天让我们来领略一下两个有趣棋子游戏中的数学.
一．取棋子游戏
游戏规则：
（1）取一堆棋子，一共13枚；
（2）每次游戏双方轮流从中取走1至5枚棋子；
（3）谁取最后1枚棋子谁输。

如果有人邀请你做这个游戏可要留心了，因为这个看似简单的游戏其实暗藏玄机，不了解的人必输无疑。

那么让我们来分析一下这个游戏
首先采取逆推法，观察当剩下一定数量的棋子，对于取者是有利还是不利。

由游戏规则可得
（1）当只有1枚棋子的时候，显然取者必输；
（2）当有2至6枚棋子时，取者可以对应取走1至5枚棋子从而只剩下1枚给对手，获得胜利
（3）当有7枚棋子的时候，取者无论取走1至5枚中的任何一个数都会使棋子堆中剩下2至6枚棋子，从而对手就可以根据（2）获胜，取者失败
（4）当有8至12枚棋子的时候取者只要对应取走1至5枚棋子即可使棋子堆中剩下7枚棋子由对手来取，从而根据（3）对手必败，取者获胜
（5）当有13枚棋子的时候，无论取者取多少都将进入剩下8至12枚棋子的情况，从而对手将根据（4）获胜，取者失败。

也就是说，这个游戏中后取者一方得胜的几率是100%。

假如你不幸先取，那就没有任何可能胜利。

同时研究以上（1）至（5）的情况，我们会发现，只有当棋子堆中剩下1枚，7枚，13枚时，先取者是会失败的。

这有什么规律呢？经过观察可以发现
1＝1＋0*6 7＝1＋1*6 13＝1＋2*6
由此我们可以将这个游戏中的总棋子数推广到M，设有M个硬币每次游戏双方轮流从中取走1至5枚硬币；谁取最后1枚硬币谁输。

则当M＝1＋6n 即6除M的余数为1时，后取者必定胜利。

那么为什么是6这个数呢，经过观察，我们可以发现因为6＝1＋5
是“一个玩家每次可以取的最大枚数”＋1
于是这个游戏中的数据可以继续推广，设有M个硬币，每次游戏双方轮流从中取走1至a枚硬币；谁取最后1枚硬币谁输。

当M＝1＋（1＋a）n时后取者必胜
我们可以对该公式进行验证
假设该游戏进行了n个回合后结束
先取者每轮从硬币堆中取走x个硬币（1≤x≤a）
则后取者可以选择取走（1＋a－x）个硬币
那么硬币堆每回合都会减少1＋a个硬币，第n回合结束后，将只剩下1枚硬币，因为此时由先取者取硬币，先取者就输了。

利用这条公式我们可以构造出许多类似的数据进行游戏如
当有65枚硬币，每次游戏双方轮流从中取走1至7枚硬币则先取者必输
当有82枚硬币，每次游戏双方轮流从中取走1至8枚硬币则先取者必输
当有101枚硬币，每次游戏双方轮流从中取走1至9枚硬币则先取者必输
诸如此类…………
二．翻棋子游戏
游戏规则：
（1）有一个2*2棋盘，棋盘上每个格子上都有一枚棋子
（2）两个人进行该游戏，每回合里轮回行动，其中一人可以决定选择翻转某两枚或者一枚棋子，接着另一人可以选择将棋盘旋转90，180或者270度，或什么都不做。

（3）游戏轮流进行到所有棋子同面向上翻棋者胜
（4）选择翻棋子的人在游戏过程中无法看到棋盘上的棋子
这个游戏看似复杂，让人望而生畏，其实是有迹可寻的，首先我们采取穷举法列出所有初始情况如下（H代表正面，T代表反面）
1和4上下对称，实际属于一种状态。

这样就只有1、2、3三种初始状态了。

目标是，经过数次翻转棋子，使得所有的状态都能达到全上或者全下的情形。

1.任一对角线翻转（这里的翻转指的是上面的每个棋子都翻个个，下同）这一步做完后，便出现如下情形：
状态（1）不变，因为它要么变成对称，要么旋转角度。

状态（2）也不变，只是旋转了一下角度而已。

状态（3）直接变成全上或全下了，OK，属于提前完成任务，丢弃。

2. 任一条边翻转
长话短说，状态（1）依然不变，因为除了变角度就是变成对称。

状态（2）分两种情况。

一种是直接胜利，丢弃。

另一种是变成状态（3）。

3. 任一对角线翻转
状态（1）仍然不变，状态（3）直接走向胜利。

4. 任一个硬币翻转
这一步的目的是让状态（1）变成状态（2）或者状态（3）。

这样，后续的步骤就和前面一样了。

5. 任一对角线翻转
6. 任一条边翻转
7. 任一对角线翻转
这个方法分成两部分，前三步和后三步。

前三步处理棋盘上有偶数颗正面朝上的棋子的情况。

第四步把奇数颗正面朝上的情况转化成偶数颗正面朝上的棋子，然后重复使用前三步的策略即可。

这个方法可以直接推广到的情况：
在给出方法前，先定义棋子状态为0如果正面朝上，为1若正面朝下。

若干个状态的XOR 和指状态的和除以2的余数。

两个棋子对称是指两个棋子处于正多边形棋盘的直径上（此时为偶数）。

假设)(k S 为k n 2 时的策略。

我们来递归构造策略)(k S ：
1、如果棋盘上任何对称的棋子方向都相同，则将对角的棋子一个整体（同时操作）之后，枚棋子转化成的情形，调用 即可让所有棋子方向相同。

此策略记为。

2、如果棋盘上任何对称的棋子方向都相同或者同时都相反，类似1先调用
，若棋子方向都相同，则已经解决了问题。

若否，注意到调用1C 的过程只会同时改变对称的两个棋子的朝向，这样调用之后还是满足任何对称的棋子方向都相反，这时候，翻转连续的
个棋子，从而可以转化成1情况。

所以，策略可以解决任何对称的棋子相同或者相反的情况。

其中表示翻转连续的个棋子。

3、接下来主要是把问题转化为2中的情况。

这时候只需要对某连续枚棋子调用即可。

这是因为如果我们把对称的棋子看成一个整体的话，则这次
的每次操作都只作用于任何对称的棋子的其中一枚上。

这样，如果我们考虑对称棋子的XOR 和的话，的过程中会出现所有对称的棋子方向都相同或者都相反的情形，也就是2中的情况。

由于我们不知道这个状态在什么时候出现，所以在这个
的每一步后，都需要执行一次操作。

最后将情况还原到全部棋子朝向统一.
其实还有许多我们熟悉的游戏都蕴涵着数学知识，只要我们善于发现和思考，就可以在游戏中兼获乐趣和知识。