必修5 第三章 不等式 3.2 均值不等式（新授课）一、教学目标确立依据 1.课程标准要求(,0)2a ba b +≤≥ ①探索并了解基本不等式的证明过程； ②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题. 2.课程标准解读对上述①的解读：首先给学生创设探索的平台得到基本不等式，同时给学生机会让学生用所学方法证明基本不等式；对上述②的解读：首先教师用问题的方式搭建平台让学生发现基本不等式的限制条件，同时教师由浅入深给学生探究最值的平台，由理论到实践操作将最值问题与实际问题挂钩，让学生在探究和实践过程中学会用基本不等式解决简单的最大（小）问题.3.学情分析与教材分析学生已经学习“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．知晓不等式证明以及函数求最值的某些方法.“均值不等式” 是必修5的重点内容，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了分类讨论、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.为了帮助学生构建知识体系，教科书分三个层面来展现：第一层面，从简单的不等式证明入手，在降低难度的基础上让学生体会基本不等式在证明不等式总中的作用；第二层面，通过应用题，体现基本不等式在实际问题的应用，以及让学生体会简单的基本不等式的应用；第三层面，通过分母是一次函数，分子是二次函数的分式形式，循序渐进的增加难度，让学生学会判断条件学会拼凑或者添项转化为公式所需要的条件.本课正处于第一、第二个层面以及第三层面的初级阶段.本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化与化归、数形结合、分类讨论思想等数学思想.教学重点：均值不等式的推导以及应用；教学难点：均值不等式在实际问题中的应用.二、学习目标分析1.通过学生动手操作及证明，学生得到均值不等式并能够熟记公式；2.通过教师问题引导师生共同探究，学生学会判断应用均值不等式条件；3.通过师生探究以及变式巩固，学生学会应用均值不等式求函数的最值.三、评价设计目标1评价：通过教师问题引领，学生动手操作得到均值不等式，并通过问题及设定的题目的形式来检查学生对均值不等式条件的初步理解目标2评价：教师通过简单的证明问题的引入，以及教师以问题串的形式引发学生思考得到不等式成立的条件，同时在学生探究之后，请学生展示探究结果并口头总结限制条件，教师适当补充评价．目标3评价：通过教师提供探究2以及实际应用题，学生上讲台讲解展示探究的结果方式达到目标3.四、教学方法1.教学方法：采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练.通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大.让学生爱学、乐学、会学、学会.2.教学手段：本节课使用学生自己的教具（纸片）、使用多媒体辅助进行直观演示.3.2均值不等式教学 目标1.通过引入，学生在感受到中国古代数学成就的同时得到均值不等式并能够熟记公式；2.通过教师问题引导师生共同探究，学生学会判断应用均值不等式条件；3.通过师生探究以及变式巩固，学生变形应用均值不等式求函数的最值；重点 应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明过程.难点基本不等式成立的条件及应用.教 学 过 程设计意图一、新课引入右图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
现将图中的“风车”抽象成下图，师生共同完成折纸实验，借此引入均值不等式.ab ba ≥+2师问：1.该不等式中,a b 的范围是什么？2.你会证明该不等式吗？ 教师请学生复述教师写在黑板上.教师展示证明过程.指出同学们自己探究并证明出了一个非常重要的定理——均值定理. 教师展示均值定理的内容.【设计意图】 让学生自己动手发现均值不等式，并自己动手证明不等式，有助于让学生在活动中体会发现的乐趣，培养学生的乐趣发挥学生的主观能动性.【设计意图】 让学生直接回答，黑板板演，或借助多媒体投影，提高学生的数学表达和交流能力.解析：能否用均值不等式解决该问题呢？满足哪些条件能用均值不等式求最值呢？问题1：若上述条件中0>x 改为3>x 结论仍成立吗？ （集体回答）问题2：若上述条件中0>x 改为0<x 结论仍成立吗？ （单独提问，独立整理步骤，教师展台展示，规范步骤）问题 3.若题目改为1(1)1y x x x =+>-+求最小值？想想你该如何去做呢？（单独提问，学生同桌合作，小老师上台讲解）小结：1.一正，二定，三等.2.当均值不等式的正、定或者等条件不满足时，要巧用添项、 拼凑等技巧.师：同学们，至此我们又完成了目标2的学习.牛刀小试：1.已知：0,0,4,x y xy >>=求min ()x y +2.已知：0,0,4,x y x y >>+=求max ()xy师生共同小结：1. 公式可以正用2a b ab +≥也可以逆用2()2a b a b +⋅≤；2.积定和最小，和定积最大.动手操作、实践应用 探究2：现有一段8米长的篱笆，要围成一个一边靠墙的矩形菜地，如何设计能够使菜地的面积最大？最大面积是多少？ 【设计意图】 1.课堂中要让学生动起来，教师就要搭建合适的平台让学生展示自我.教师设计的几个问题目的是要让学生自己通过实例总结出一正、二定、三等的条件，而不是教师告知.2.此时的小结仍交给学生总结教师适当的补充评价.目的在于让学生自己缕清做题的方法及思路同时有助于培养学生的总结归纳能力.3.针对问题2，教师请同学回答，分析思路并请学生动手做题规范步骤.4.针对问题3，有了前面的基础，学生同桌合作能够解决，所以让学生讲解在学生的能力范围内，同时通过这种形式锻炼学生的口头表达能力，有助于培养学生思维的严谨性.【设计意图】 教师请小组讲台展示成果.其他小组适当补充完善做题方法.六、拓展资源中科院院士田刚——离菲尔茨奖最近的中国人在第24界国际数学家大会上，田刚成为中国内地第一个进行一个小时大会报告的学者。
12年前，32岁时他就出现在京都国际数学家大会上。
在上一届菲尔茨奖评选中，田刚进入了最后一轮的角逐。
虽然没能获奖，但他是所有中国数学家中曾经最接近这一号称“数学诺贝尔奖”桂冠的人。
在许多人看来，他是天才。
可他却说：“我的独特之处在于我不是天才。
数学家不需要天才，关键在于努力，在于有兴趣。
”44岁的田刚，是国际公认的最杰出的微分几何学家。
1998年受聘为北京大学第一批“长江学者”，2001年当选为中国科学院院士，现任北京大学教授及美国麻省理工学院讲座教授。
可1978年报考大学时，这位日后的著名数学家的第一志愿不是数学，而是物理。
“当年想法很简单，我的母亲搞数学研究，我不想再搞数学。
”田刚说。
南京大学数学系一位负责人认为他不是天才，田刚在大学4年间居然做了上万道题，这种踏实的习惯一直伴随着他。
读书期间，田刚始终没有放弃自己的爱好：爬山。
他说：“爬山的特点就是不喜欢走回头路，不达目的决不罢休。
” 登高的另一个好处是可以开拓人的视野。
田刚追随张恭庆院士读北大，又追随菲尔茨奖获得者丘成桐到了美国。
两人都是在数学界最培养兴趣，提升素养。
备注：国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为国际数学界的“奥林匹克”。
大会颁发的菲尔茨奖，被誉为“数学领域的诺贝尔奖”。
均值不等式作差法证明几何解释探究1小结检测探究2Ａ ＢＣＥＤ Ｇ Ｆ a Ｈ b22a +b 学习目标： 1. 2.知识点： 均值不等式： 公式条件： 公式变形：均值不等式学情分析学生已经学习“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．知晓不等式证明以及函数求最值的某些方法.效果分析一：师生共同完成折纸实验，借此引入均值不等式环节，通过教师引导学生动手试验，学生完成了均值不等式的生成；二：在教师引导学生理解均值不等式环节，我通过巡视及提问评价，发现学生对均值不等式成立的条件掌握的很好，但是一位同学在背完公式后再回答公式变形时还是有所失误，但是通过提示，相信这位同学应该能够掌握到位.三：在应用环节，从同学们小组合作的表现来看，学生能够积极的参与到课堂活动中来.同时在展示阶段，我拿了一位在易错点上出错的同学的试卷展示，请同学提出做题中的不足之处，从学生的表现来看从中我们不难发现学生乐于参与到课堂活动中来，乐于当大家的小老师。
从学生板书和巡视学生做题情况来看百分之九十的学生对基本题型掌握的还算熟练.三：总结环节放手让学生对本节课做一个小结，学生总结的很到位.虽说学生只能从知识层面上总结，但是能达到这样的效果相信学生对本节课的学习内容基本上是领会了.通过效果分析我们不难发现将本节课大胆的还给学生，我们的处理方法是对的。
我相信对给学生一些这样的机会，学生会成长的很好。
均值不等式教材分析“均值不等式”是必修5的重点内容，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用.求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了分类讨论、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.为了帮助学生构建知识体系，教科书分三个层面来展现：第一层面，从简单的不等式证明入手，在降低难度的基础上让学生体会基本不等式在证明不等式总中的作用；第二层面，通过应用题，体现基本不等式在实际问题的应用，以及让学生体会简单的基本不等式的应用；第三层面，通过分母是一次函数，分子是二次函数的分式形式，循序渐进的增加难度，让学生学会判断条件学会拼凑或者添项转化为公式所需要的条件.本课正处于第一、第二个层面以及第三层面的初级阶段.本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化与化归、数形结合、分类讨论思想等数学思想.均值不等式测评练习一、单选题1．如果，那么的最小值是（）A．B．4 C．9D．182．函数其中的最大值是A．B．C．1D．23．已知，则的最小值为A．B．1C．D．4．在各项均为正数的等比数列中，，则（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值3 5．已知，则取最大值时的值是（ （A．B．C．D．二、填空题6．已知，且，则的最小值为___________．7．若，则函数的最小值为______．8．当且仅当______时，函数取得最小值．9．已知，，且，则的最大值为______．10．已知，，且，则的最大值等于__________．11．用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是__________平方米.三、解答题12．求函数的值域．13．已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值；已知，，，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．14．求函数y（x(a（2x)(x>0（a为大于2x的常数)的最大值（15．利用基本不等式求最值：（1）若，求函数的最小值，并求此时x的值.（2）设，求函数的最大值参考答案1．D 2．D 3．D 4．A 5．C 6．47．8．9．2【点睛】本题主要考查对数的运算法则，均值不等式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．8【点睛】本题主要考查的是基本不等式的合理运用及其变形。