初二上动点问题1．如图，已知△ABC中，∠B=90 º，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求线段PQ的长？（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间？2．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=10cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线．．．．CB．．方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM．．上以每秒2厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．（1）求AB的长；（2）当t为多少时，△ABD的面积为15cm2？（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．（请在备用图中画出具体图形）3．（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进 1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．4．（12分）在等腰△ABC中，AB=AC=2, ∠BAC=120°,AD⊥BC于D,点O、点P分别在射线AD、BA上的运动，且保证∠OCP=60°，连接OP.（1）当点O运动到D点时，如图一，此时AP=______,△OPC是什么三角形。

（2）当点O在射线AD其它地方运动时，△OPC还满足（1）的结论吗？请用利用图二说明理由。

（3）令AO=x，AP=y，请直接写出y关于x的函数表达式，以及x的取值范围。

图一图二5．探究题如图，点O是等边△ABC内一点，∠A OB﹦1100，∠BOC﹦a，将△BOC绕点C按顺时钟方向旋转60O得△ADC，连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当a﹦150O时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当仅为多少度时，△AOD是等腰三角形？6．如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为BC边上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．（1）如图1，若AB=AC，∠BAC=90°，当点D在线段BC上时（不与点B重合），证明：△ACF≌△ABD（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF与BD的数量关系和位置关系是什么，并说明理由；（3）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，点D在线段BC上运动（不与点B重合），试探究CF与BD位置关系．7．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB 上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．8．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD 为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）填空：∠CAM=__________度；（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；（3）当动点D在直线．．AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．9．（1）如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明①:△ABD≌△ACE②DE=BD+CE(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.10．如图①，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限，线段AC与x轴交于点D.将线段DC绕点D逆时针旋转90°至DE.（1）直接写出点B、D、E的坐标并求出直线DE的解析式.（2）如图②，点P以每秒1个单位的速度沿线段AC从点A运动到点C的过程中，过点P作与x轴平行的直线PG，交直线DE于点G，求与△DPG的面积S与运动时间t的函数关系式，并求出自变量t的取值范围.（3）如图③，设点F为直线DE上的点，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FE以每秒个单位的速度运动到E后停止.当点F的坐标是多少时，是否存在点M在整个运动过程中用时最少？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．(1)；（2）t=83；（3）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.【解析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）设出发t秒后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t 即可；（3）当点Q在CA上运动上，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时（图1）则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求得BE、CE，即可得出t.解：(1)BQ=2×2=4cm，BP=AB−AP=8−2×1=6cm，∵∠B=90°，PQ=；(2)BQ=2t，BP=8−t， 2t=8−t，解得：t=83；(3)①当CQ=BQ时(图1)，则∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=5，∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒.②当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，则BE=，所以CE=BC2−BE2，故CQ=2CE=7.2，所以BC+CQ=13.2，∴t=13.2÷2=6.6秒.由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.“点睛”本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用.2．（1）5；（2）2或8；（3）2或10．【解析】试题分析：（1）运用勾股定理直接求出；（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值；（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．试题解析：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴2AB2=BC2，∴AB==5cm；（2）过A作AF⊥BC交BC于点F，则AF=BC=5cm，∵S△ABD=15cm2，∴AF×BD=30，∴BD=6cm．若D在B点右侧，则CD=4cm，t=2s；若D在B点左侧，则CD=16cm，t=8s．（3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动6秒时，△ABD≌△ACE．理由如下：（说理过程简要说明即可）①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．∵CE=2t，BD=10﹣3t∴2t=10﹣3t∴t=2证明：在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS）．②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．∵CE=2t，BD=3t﹣10,∴2t=3t﹣10,∴t=10证明：在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE．点睛：本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定以及面积的计算；本题综合性强，有一定的难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质和分类讨论思想的运用.3．问题背景：EF＝BE＋DF；探索延伸：EF＝BE＋DF仍然成立，理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间的距离是210海里．【解析】解：问题背景：EF＝BE＋DF；探索延伸：EF＝BE＋DF仍然成立．证明如下：如图，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°＋90°＋（90°－70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EAF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝（90°－30°）＋（70°＋50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE＋BF成立，即EF＝1.5×（60＋80）＝210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．4．（1）1，等边三角形；（2）理由见解析；(3)当时，y=2-x；当时，y=x-2【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB=30°，求得∠ACP=30°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过C作CE⊥AP于E，根据等边三角形的性质得到CD=CE，根据全等三角形的性质得到OC=OP，由等边三角形的判定即可得到结论；（3）分两种情况解决，在AB上找到Q点使得AQ=OA，则△AOQ为等边三角形，根据求得解实现的性质得到PA=BQ，求得AC=AO+AP，即可得到结论．试题解析：（1）AD=AP=1,∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴∠B=∠ACB=30°，∵∠OCP=60°，∴∠ACP=30°，∵∠CAP=180°﹣∠BAC=60°，∵AD⊥BC，∴∠DAC=60°，在△ADC与△APC中，，∴△ACD≌△ACP，∴CD=CP，∴△PCO是等边三角形；（2）△OPC还满足（1）的结论，理由：过C作CE⊥AP于E，∵∠CAD=∠EAC=60°，AD⊥CD，∴CD=CE，∴∠DCE=60°，∴∠OCE=∠PCE，在△OCD与△PCE中，，∴△OCD≌△PCE，∴OC=OP，∴△OPC是等边三角形；（3）当0<x≤2时，在AB上找到Q点使得AQ=OA，则△AOQ为等边三角形，则∠BQO=∠PAO=120°，在△BQO和△PAO中，，∴△BQO≌△PAO（AAS），∴PA=BQ，∵AB=BQ+AQ，∴AC=AO+AP，∵AO=x，AP=y，∴y=﹣x+2；当时，利用同样的方法可求得y=x-2点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BQO≌△PAO是解题的关键，解决本题时注意分类讨论，要做到不重不漏．5．（1）等边三角形；（2）直角三角形；（3）当的度数为或或时，△AOD是等腰三角形.【解析】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；（2）结合（1）的结论可作出判断；（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答.（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC∴CO=CD，∠OCD=60°∴△COD是等边三角形.（2）解：当=150°时，△AOD是直角三角形理由是:∵△BOC≌△ADC∴∠ADC=∠BOC=150°又∵△COD是等边三角形∴∠ODC=60°[来∴∠ADO=∠ADC -∠ODC=90°，即△AOD是直角三角形.（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO∵∠AOD==,∠ADO=∴=∴②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO∵∠OAD=（∠AOD+∠ADO）==∴=∴③要使DO=DA,需∠OAD=∠AOD.∵∠AOD= =，∠OAD=∴=，解得综上所述：当的度数为或或时，△AOD是等腰三角形.“点睛”本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形）的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中几何演绎推理的难度适中，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等）能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力.6．见解析【解析】（1）根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；（3）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF和价AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD.解：（1）∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，AD=AF∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，AB=AC，∠CAF=∠，AD=AF，∴△ACF≌△ABD（SAS）（2）CF⊥BD，如图2，∵△ADF是等腰直角三角形，∴AD=AF，∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD（3）CF⊥BD如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=AE，∠AED=45°，∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，∴△ACF≌△AED（SAS），∴∠ACF=∠AED=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，∴CF⊥BD．“点睛”此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键，此类题目的特点是各小题求解思路一般都相同.7．（1）（2）见解析【解析】（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；（2）首先在BA 的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD．解：（1）猜想：AB=AC+CD．证明：如图，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD=∠CAD，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED=∠C，ED=CD，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∴∠B=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CD，∴AB=AE+DE=AC+CD．（2）猜想：AB+AC=CD．证明：如图，在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．∵AD平分∠FAC，∴∠EAD=∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△EAD≌△CAD．∴ED=CD，∠AED=∠ACD．∴∠FED=∠ACB．又∠ACB=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，∠EDB=∠B．∴EB=ED．∴EA+AB=EB=ED=CD．∴AC+AB=CD．“点睛”此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．8．30；【解析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS 就可以得出△ADC≌△BEC；（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出△ACD≌△BCE同样可以得出结论．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM=∠BAC，∴∠CAM=30°．故答案为：30；（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE∴∠ACD=∠BCE．在△ADC和△BEC中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（3）∠AOB是定值，∠AOB=60°，理由如下：①当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE=∠CAD=30°，又∠ABC=60°∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即∠BAM=∠BAC=×60°=30°∴∠BOA=90°-30°=60°．②当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE=∠CAD=30°，同理可得：∠BAM=30°，∴∠BOA=90°-30°=60°．③当点D在线段MA的延长线上时，如图3，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE=∠CAD同理可得：∠CAM=30°∴∠CBE=∠CAD=150°∴∠CBO=30°，∠BAM=30°，∴∠BOA=90°-30°=60°．综上，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB=60°．“点睛”边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．9．（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）利用∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．试题解析：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．10．（1）B(4,-1),D(1,0).E(-2,3)直线DE：（2）（）（3）当点F坐标为（0，1）时，点M在整个运动过程中用时最少，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据已知条件可以直接写出点B的坐标，根据等腰直角三角形的性质可以写出点D的坐标及CD的长度，由旋转可以得出点E的坐标，也就可以求出直线DE的解析式. （2）根据题意要分两种情况讨论，点P在线段AD上和点P在线段CD上，利用勾股定理得出所需长度即可.（3）本题首先要把问题转化一下，把AF+最小转化为最小，然后根据路径最短画出图形即可.试题解析：（1）由题意得：B(4,-1),D(1,0).E(-2,3)设直线DE为把D(1,0).E(-2,3)代入得解之得：∴直线DE为：（2）在Rt△ABC中，由，由同理可得：由题意可知：，∠DPG=∠DAB=45°∴△DPG为等腰直角三角形①当时∴②当时，过G作GM⊥AC于M易得综上：（）（3）如图③，易得∠EDO=45°．过点E作EK∥x轴交轴于H，则∠KEF=∠EDO=45°．过点F作FG⊥EK于点G，则FG=EG=．由题意，动点M运动的路径为折线AF+EF，运动时间：，∴，即运动时间等于折线AF+FG的长度．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为EK与线段AB之间的垂线段．则t 最小=AH，AH．．．．，即为所求之F点．．．与．轴的交点∵直线DE解析式为：∴F（0，1）．综上所述，当点F坐标为（0，1）时，点M在整个运动过程中用时最少．。