集合元素的确定性得: x2x1 y1
即:x2x y, 因为y>0，所以x(x1)同号,且由题意x、x1
皆大于0,
当xy时,(x1)= y/2，解得：y2(舍)
当(x+1) y时, xy/2, 解得： y2，则x1
解法2：由题意有x2x1 y1, 当xy时,带入上式: x0，则y0 由集合中元素的互异性知B不 合题意（舍）
将再: (x+1)= y带入上式, 解得： y2，则x1
综合上述：x2y25
例2、I{xx为不大于20的质数}，A、B为I的子集，
A(CIB){3,5}，(CIA) (CIB){7,19}，
(CIA) B{2,17}，则AB＝__________
解: 此题用图示法解.画出韦恩图得{11,13}
[课堂笔记] ∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a， ∴a＝－1或a＝－ . 当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，∴a＝－1舍去；
当a＝－
时，a－2＝－
,2a2＋5a＝－3，∴a＝－
.
已知集合A＝{x|0＜ax＋1≤5}，集合B＝{x|－ (1)若A⊆B，求实数a的取值范围； (2)若B⊆A，求实数a的取值范围；
例5、集合M ( x , y ) y 9 x 2 , N ( x, y ) y x b


且MN,求b的取值范围.
解析：M表示以原点为圆心、3为半径的上半个圆的点组成的集 合,N表示斜率为1的直线的点构成的集合,MN,说明半圆与直 y 线有交点,
由图得： 3 b 3 2
解析：∵M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，
∴N＝{0,2,4}，
∴M∩N＝{0,2}. 答案：D
4.设集合A＝{5，log2(a＋3)}，集合B＝{a，b}.若A∩B＝{2}， 则A∪B＝ .
解析：∵A∩B＝{2}，∴log2(a＋3)＝2. ∴a＝1.∴b＝2.
∴A＝{5,2}，B＝{1,2}.
解析：由题意画出图形.可知， M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}. 答案：A
3.满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}
的集合M的个数是 A.1 B.2 C.3 ( D.4 )
解析：若M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}，符合题意.
答案：B
4.若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝
∴A∪B＝{1,2,5}. 答案：{1,2,5}
5.已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实
数的取值范围是
.
解析：借助数轴可知a≤1.
答案：a≤1
已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，求a.
[思路点拨]
分别令a－2＝－3,2a2＋5a＝－3求出a的值，注意检验.
n
则 n
； ；若n被3除余1，
②若n被3除余0，则n
；若n被3除余2，则n
；
（5）集合中元素的个数的计算：
①若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为
_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真 子集的个数是 。 ② AB 中 元 素 的 个 数 的 计 算 公 式 为 ：
注意： 有限集常用列举法表示,无限集常用描述法表示,在用描述法表
示集合时,必须认清代表元,
如 ： A{xyx22x1}；
B{yyx22x1}；C{(x,y)yx22x1} 是三个不同的集合。 一定要区分集合中元素的形式,搞清集合的具体含义（从元素 的一般形式出发，搞清是点集，还是数集？是定义域还是值 域？）
)
解析：显然A∩ NB＝ 果为{1,5,7}. 答案：A
A(A∩B)，且A∩B＝{3,9}，所以结
2.已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，
则M∪N＝ A.{x|x＜－5或x＞－3} C.{x|－3＜x＜5} B.{x|－5＜x＜5} D.{x|x＜－3或x＞5} ( )
3x＋b}，则b＝ .
解析：由
点(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2.
答案：2
5.已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁RB) ＝R，则实数a的取值范围是 .
解析：∁RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，又A∪(∁RB)＝R，
借助数轴可得a≥2. 答案：a≥2
6.已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋mx＋m2－12
＝0}，且A∪B＝A，求实数m的取值范围. 解：∵A∪B＝A，∴B⊆A，又∵A＝{－2,4}， ∴B＝∅或{－2}或{4}或{－2,4}.
当B＝∅时，Δ＜0⇒m＞ห้องสมุดไป่ตู้或m＜－4；
当B＝{4}时，
⇒无解；
当B＝{－2}时
当B＝{－2,4}时，
⇒m＝－2.
∴m≥4或m＝－2或m＜－4.
解析：着重理解“∈”的意义，对M中元素的情况进行讨论，一 定要强调如果“a在M中，那么(6-a)也在M中”这一特点，分别讨
论“一个、两个、三个、四个、五个元素”等几种情况，得出相应
结论。 所以答案选 C
例7、设集合M满足{a,b}M {a,b,c,d,e}，则 不同的集合M共有_____个
解:集合M中必含有a、b,含有c、d、e三个元素
注意：图形在解集合题中的应
用，应用图示法解答集合问题, 有助于提高解题速度,减少解答失误 (3,0)
(0,3)
0
(0,3)
(3,0)
x
例6、同时满足① M {1, 2, 3, 4, 5}; ② 若aM，则
(6-a) M, 的非空集合M有（ ）。
（A）16个 （B）15个 （C）7个 （D）8个
2.已知集合P＝{1,2}，那么满足Q⊆P的集合Q的个数是(
A.4 B.3 C.2 D.1
)
解析：∵Q⊆P，P＝{1,2}，
∴Q＝∅，{1}，{2}，{1,2}.
答案：A
3.已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合 M∩N＝ ( )
A.{0}
C.{1,2}
B.{0,1}
D.{0,2}
总复习—集合
高三数学
知识网络
元素的性质 概念 关系
（1）确定性 （2）互异性 （3）无序性 （1）元素与集合 （2）集合与集合 （1）列举法 （2）描述法 （3）图示法
集合
表示方法
运算
（1）交集 （2）并集（3）补集
首先我们来看这一部分的考点目标:
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性。
（3）交集、并集、补集的性质： 对于任意集合A,B. ①AB___ BA ；AB____BA；AB____ AB； ②ABA_________ ；ABA ；
CuABU
③CR(AB)
；CuAB
； Cu(AB)；
；
；若 n 为奇数，则
（4）①若 n 为偶数，则 n
解得a＝2，即a＝2时满足A＝B.
当a＜0时，由A＝{x| 显然A≠B. 综上，若A＝B，a的值为2. ≤x＜－ }，B＝{x|－ ＜x≤2}，
1.已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩
NB为
(
A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} D.{1,2,3}
当B{1}时,由4a24b0及12ab0,解得: a1,b1 当B{1,1}时,由韦达定理得: a0,b1 综合上述: a1,b1; a1,b1; a0,b1.
通过上述例题的讲解,集合中我们须注意的问题是：
（1）搞清集合的具体含义（从元素的一般形式出发，搞清是点 集，还是数集？是定义域还是值域？）； （2）正确书写符号（补集、子集、真子集、属于、包含于、正整 数集、自然数集等）； （3）掌握利用图形（Venu图、数轴、坐标系中的图像等）解题， 学会用图和符号语言来表示关系（集合与集合的、元素与
若A⊆B，则
≤x＜－
}，
解得a＜－8
综上，若A⊆B，则a＜－8或a≥2.
(2)由(1)知，当a＝0时，A＝R，满足B⊆A； 当a＞0时，若B⊆A，则
解得0＜a≤2. 当a＜0时，若B⊆A， 则 解得－ ＜a＜0.
综上，满足B⊆A的a的取值范围为
.
(3)若A＝B，由(1)知a≠0. 当a＞0时，由
Card(AB)
③韦恩图的运用：
；
3.集合的基本运算
集合的并集 符合 表示 图形 表示 集合的交集 集合的补集 全集为U，集合A的补集 为 ∁UA
A∪B
A∩B
意义 {x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
例题讲解: 例1、已知xR，yR+，集合
A{ x2x1，x，x1}，集合B{y， y ， 2 2y2的值 y1}，若AB，求x 本例题主要考查集合的性质: 解法1：因为 x2x1恒为正,集合B中只有 y10,所以由
＜x≤2}.
(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.
[思路点拨] 化简集合A
在数轴上标出A、B 结论
[课堂笔记] (1)由0＜ax＋1≤5，得－1＜ax≤4. 当a＝0时，A＝R，不满足A⊆B； 当a＞0时，A＝{x|－ ＜x≤ }；
若A⊆B，则
解得a≥2.
当a＜0时，A＝{x|
的子集个数是23, 又M是{a,b,c,d,e}的真子集,所
以不同的M有7个.
例8、设集合A={-1，1}，集合B={x|x2-2ax+b=0,x
是实数}且BA,B求实数a,b的值。
解:因为BA,B所以B{1};B{1};B{1,1}