例1 系统结构图如图所示。

求开环增益K 分别为10，，时系统的动态性能指标。

计算过程及结果列表K计算 10开环 传递 函数 )1(10)(1+=s s s G)1(5.0)(2+=s s s G )1(09.0)(3+=s s s G 闭环 传递 函数1010)(21++=Φs s s5.05.0)(22++=Φs s s09.009.0)(23++=Φs s s特征参数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒===⨯===81arccos 158.016.32116.310ξβξωn ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒===⨯===45arccos 707.0707.021707.05.0ξβξωn ⎪⎩⎪⎨⎧=⨯===67.13.0213.009.0ξωn 特征根12.35.02,1j ±-=λ5.05.02,1j ±-=λ⎩⎨⎧-=-=9.01.021λλ⎩⎨⎧==11.11021T T 动态 性能 指标22100001.01160.43.5 3.570.5p ns n t et ξπξπξωσξω--⎧==⎪-⎪⎪==⎨⎪⎪===⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====-=--75.35238.610010022n s np t et ξωσωξπξξπ ()12211100931,0s s pT T t t T T t λλσ⎧==⎪=⋅=⎨⎪=∞=⎩调整参数可以在一定程度上改善系统性能，但改善程度有限§3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施（1） 测速反馈 —— 增加阻尼 （2） 比例+微分 —— 提前控制例 2 在如图所示系统中分别采用测速反馈和比例+微分控制，其中10K =，216.0=t K 。

分别写出各系统的开环传递函数、闭环传递函数，计算动态性能指标（σ％，s t ）并进行对比分析。

原系统、测速反馈和比例+分控制方式下系统性能的计算及比较原系统 测速反馈比例 + 微分系统 结构图开环 传递函数 )1(10)(+=s s s G a)1()1(10)(++=s s s K s G t b)1()1(10)(++=s s s K s G t c闭环 传递函数 210()10a s s s Φ=++ 10)101(10)(2+++=Φs K s s t b 10)101()1(10)(2++++=Φs K s s K s tt c 系统参数ξ1100.216210+⨯=1100.216210+⨯=n ω10 3.16= 10 3.16=10 3.16=开环零点 — 极点 0，-１ 0，-１ 0，-１闭环零点 — — 110.216t z K --===极点 ± ± ± 动态 性能p t0σ％ ％ ％ s t7零点极点法 （ P75 表3-7 ）9.074.273.014.3=-=-=D t p θπ1 1.580.90004.121.44.63p t E e e F σσ--⨯===258.163.41.474.216.3ln 3ln 31=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=σF E D A t sp t Dπ-θ= ，%100%1p t e F E σσ-= 13ln s A E D F t ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=σ改善系统性能的机理：测速反馈——增加阻尼比例+微分——提前控制[仿真计算]附加开环零点对系统性能的影响附加闭环零/极点对系统性能的影响§ 高阶系统的阶跃响应及动态性能§3.4.1 高阶系统单位阶跃响应mn s z s K a s a s a s a b s b s b s b s D s M s nj jm i i n n n n m m m m ≥--=++++++++==Φ∏∏==----1101110111)()()()()(λΛΛ∏∏==--=⋅Φ=n j j mi i s s z s K ss s C 11)()(1)()(λ∑==-'+⋅=n j js s s D s s M s D M j11)()(1)0()0(λλ∑==⋅'+=n j ts k je s D s s M D M t c 1)()()0()0()(λλ()∑∑±-=--=-=++⋅'+=dii i i i i ij i di t i t s t e A e s D s s M D M ωσλσαλααϕωsin )()()0()0(§3.4.2 闭环主导极点主导极点：距离虚轴最近而且附近又没有闭环零点的闭环极点§3.4.3 估算高阶系统动态性能指标的零点极点法（1） ⇒Φ)(s 闭环零极点图；（2） 略去非主导零极点和不非常靠近虚轴的“偶极子”，保留主导极点； （3） 按P75表3-7相应公式估算系统动态性能。

表3-7 动态性能指标估算公式表系统名称闭环零、极点分布图性能指标估算公式振荡二阶系统Dtpπ=，%100%1p teσσ-=1ln3σ⎪⎭⎫⎝⎛+=DAtsDtpθπ-=，%100%1p teFEσσ-=1ln3σ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+=FEDAts振荡型三阶系统Dtpα=，21⎪⎭⎫⎝⎛-=BAc，DCBAc⋅=2%100%11⎪⎭⎫⎝⎛+=--ppctt eceBCσσ时%ln312≠+=σσcts时%ln31=+=σCctsDtpα=，⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=FCBAc121，FEDCBAc⋅⋅=2% 100%11⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=--ppctt eceFEBCσσ时），0%(ln3112≠>+=σσσCcts时），（0%ln311=<+=σσCCcts非振荡型三阶系统)(1ln1ln332113121σσσσσσσσ≠≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=st)1.1,(1ln1ln1ln31321131211时σσσσσσσσσσ>≠≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--=FFts——————结束——————关于开环传递函数的写法问题1(1)(1)()[1]11(1)1t t t K KK s s s s G s KK s KK s s KK s s s ++===++++++12()(1)t Ks s KK s KΦ=+++2(1)()(1)(1)(1)t t K K s KG s K s s s s s +=+=++2(1)()(1)(1)(1)1(1)t t KK s s s K K s s s K K s s s +Φ==++++++ 2(1)t Ks KK s K =+++问题讨论：1．开环增益会影响系统的动态性能指标吗？2．闭环增益会影响系统的动态性能指标吗？3．系统的动态性能指标与闭环极点有关，与闭环零点也有关吗？——————结束——————4．测速反馈改善系统性能的机理——增加阻尼比例+微分改善系统性能的机理——提前控制两种方法的比较5．附加开环零点的作用6．附加闭环零（极）点的作用2-15 试绘制图2-36所示信号流图对应的系统结构图。

解.§ 线性系统的稳定性分析§3.5.1 稳定性的概念§3.5.2稳定的充要条件0)(lim =∞→t k t)()()()()()()()()(2121n n m m s s s a z s z s z s b s D s M s λλλ------==ΦΛΛ∑=-=-++-+-=Φ=ni ii n n s A s A s A s A s s C 12211)()(λλλλΛ∑==++=ni ti tn tti n i e A eA eA eA t k 1212)(λλλλΛ0lim )(lim 1∑=∞→∞→==ni ti t t i eA t k λ0lim =∞→tt i e λ n i ,,2,1Λ= 系统稳定的充要条件：系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部，或所有闭环特征根均位于左半s 平面。

§3.5.3 稳定判据0)(0111=++++=--a s a s a s a s D n n n n Λ 0>n a（1）判定稳定的必要条件0>i a 1,,2,1,0-=n i Λ08964)(245=++++=s s s s s D 010275)(234=-----=s s s s s D（2）劳斯判据例3 系统特征方程，判定系统是否稳定。

010275)(234=++++=s s s s s D ，解 列劳斯表（3）劳斯判据特殊情况的处理例4 系统特征方程023)(3=+-=s s s D ，判定系统稳定性。

解 列劳斯表4s 1 7 10 3s 5 2 02s33/5 101s-184/33 有2个正实部根0s10例5 已知系统特征方程，判定系统是否稳定性。

025*******)(2345=+++++=s s s s s s D ，解 列劳斯表（4）劳斯判据的应用例6 某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统能否稳定，若可以稳定，确定相应的开环增益范围。

解 依题意有()()()223)1(9131)(--=--=s s K s s K s G3s1 -32s0 ←ε2第一列元素若出现0，用ε代替1s (-3ε-2)/ε 有2个正实部根s25s 1 12 354s3 20 253s316 1 380 5 02s5 1 25 5 01s0 2 0 0 出现全0行时，构造辅助方程05)(2=+=s s F 02)(=='s s F0s25不存在右半s 平面的极点()()()()01969193)(22=-+-+=-+-=K s K s s K s s D⎩⎨⎧>->-01069K K132<<K 。

系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系 例7 系统结构图如图所示，（1）确定使系统稳定的开环增益K 与阻尼比ξ的取值范围，画出相应区域； （2）当2=ξ时，确定使系统极点全部落在直线1-=s 左边的K 值范围。

解．（1） )10020()(2++=s s s K s G aξ100a K K =010010020)(23=+++=K s s s s D ξ列劳斯表3s1 1002sξ20K 1000>→ξ1sξξ20)1002000(K -0 K >→ξ20 0sK 1000>→K（2）令 1-=s s )K s s s s D 100)1(100)1(20)1()(23+-+-+-=))))ξ代入2=ξ，整理得)61100(2337)(23-+++=K s s s s D ))))3s 1 232s3761100-K1s 37)100612337(K -+⨯ 0 12.9<→K0s61100-K61.0>→K所以有 12.961.0<<K 。