大学物理典型例题分析 第13章光的干涉例13-1如图将一厚度为l ,折射率为n 的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间,设入射光波长为λ,测量中点C处的光强与片厚l 的函数关系。
如果l =0时,该点的强度为0I ,试问:(1)点C的光强与片厚l的函数关系是什么; (2)l 取什么值时,点C 的光强最小。
解 (1)在C 点来自两狭缝光线的光程差为nl l δ=- 相应的相位差为22(1)n lππϕδλλ∆==-点C 的光强为:214cos 2I I ϕ∆= 其中:I1为通过单个狭缝在点C 的光强。
014I I =(2)当1(1)()2n l k δλ=-=-时点C 的光强最小。
所以1()1,2,3,21l k k n λ=-=-例13-2如图所示是一种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。
其中T 1,T 2为一对完全相同的玻璃管,长为l ,实验开始时,两管中为空气,在 P 0处出现零级明纹。
然后在T 2管中注入待测气体而将空气排除,在这过程中,干涉条纹就会移动,通过测定干涉条纹的移动数可以推知气体的折射率。
设l =20cm ,光波波长589.3nm λ=,空气的折射率1.000276,充一某种气体后,条纹移动200条,求这种气体的折射率。
解当两管同为空气时,零级明纹出现在P 0处,则从S 1和S 2射出的光在此处相遇时,光程差为零。
T 2管充以某种气体后,从S2射出的光到达屏处的光程就要增加,零级明纹将要向下移动,出现在o P '处。
如干涉条纹移动N条明纹,这样P 0处将成为第N 级明纹,因此,充气后两光线在P 0处的光程差为S 1L 1L 2T 2T 1S 2SEP 0P 0 '例13-2图例13-1图21n l n l δ=-所以21n l n l N δλ=-= 即21N n n l λ=+代入数据得32200589.310 1.000276 1.0008650.2n ⨯⨯=+=例13-3. 在双缝干涉实验中,波长l=5500Å 的单色平行光垂直入射到缝间距a =2⨯10-4m 的双缝上,屏到双缝的距离D = 2m.求:(1)中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距;(2)用一厚度为e =6.6⨯10-6m 、折射率为n =1.58 的玻璃片覆盖一缝后,零级明纹将移到原来的第几级明纹处 ?解:(1) 因为相邻明(暗)条纹的间距为D a λ,共20个间距所以200.11m D x a λ∆==(2)覆盖玻璃后,零级明纹应满足: []21()0r r e ne --+=设不盖玻璃片时,此点为第k 级明纹,则应有21r r k λ-=所以(1)n e k λ-=(1) 6.967n ek λ-==≈零级明纹移到原第 7 级明纹处.例13-4薄钢片上有两条紧靠的平行细缝,用波长l=5461Å 的平面光波正入射到钢片上。
屏幕距双缝的距离为D =2.00m ,测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为D x =12.0mm.,(1)求两缝间的距离。
(2)从任一明条纹(记作0)向一边数到第20条明条纹,共经过多大距离? (3)如果使光波斜入射到钢片上,条纹间距将如何改变? 解 (1)2kD x d λ∆=2kd d x λ=∆此处5k =100.910mm D d x λ∴==∆(2)共经过20个条纹间距,即经过的距离2024mm D l d λ==(3)不变。
例13-5如图波长550nm λ=的光线垂直入射在折射率3 1.5n =照相机镜头上,其上涂了一层折射率2 1.38n =的氟化镁增透膜,问:若在反射光相消干涉的条件中取 k =1,膜的厚度为多少?此增透膜在可见光范围内有没有增反?解因为123n n n ,所以反射光经历两次半波损失,所以无半波损失,反射光相干相消的条件是:22(21)2n d k λ=+代入k =1和2n 求得:92335501044 1.38d n λ-⨯⨯==⨯ 72.98210m -=⨯此膜对反射光相干相长的条件:22n d k λ=将d代入11855nm k λ==22412.5nm k λ== 33275nm k λ==波长412.5nm 的可见光有增反。
例13-6.在 Si 的平面上形成了一层厚度均匀的 SiO 2 的薄膜,为了测量薄膜厚度,将它的一部分腐蚀成劈形(示意图中的A B 段)。
现用波长为 600.0n m 的平行光垂直照射,观察反射光形成的等厚干涉条纹。
在图中AB 段共有 8 条暗纹,且B 处恰好是一条暗纹,求薄膜的厚度。
( Si 折射率为 3.42, Si O2 折射率为 1.50 )解:上下表面反射都有半波损失,计算光程差时不必考虑附加的半波长,设薄膜厚度为e 。
B处暗纹有:2(21),0,1,22ne k k λ=+=B 处第 8 条暗纹对应上式7k =3(21) 1.510mm 4k e n λ-+==⨯BλSiO 2膜例13-6图例13-5图例13-7为了测量金属细丝的直径,把金属丝夹在两块平玻璃之间,形成劈尖,如图所示,如用单色光垂直照射,就得到等厚干涉条纹。
测出干涉条纹的间距,就可以算出金属丝的直径。
某次的测量结果为:单色光的波长589.3nm λ=,金属丝与劈间顶点间的距离L=28.880mm ,30条明纹间得距离为4.295mm ,求金属丝的直径D ?解30条明纹29个间距,相邻两条明纹间的间距为4.295mm 29l =其间空气层的厚度相差2λ,于是sin 2l λθ=其中θ为劈间尖的交角,因为q很小,所以sin D tg L θθ==2L D l λ=代入数据得39328.880101589.3104.29521029D ---⨯=⨯⨯⨯⨯ 0.05746mm =例13-8在牛顿环实验中用紫光照射,借助于低倍测量显微镜测得由中心往外数第k级明环的半径,径33.010k r m -=⨯,k 级往上数第16个明环半径316 5.010k r m -+=⨯,平凸透镜的曲率半径R =2.50m 。
求:紫光的波长?解根据明环半径公式:(1)k r =例13-7图例13-8图16(2)k r +221616k k r r R λ+-=32327(5.010)(3.010) 4.010m16 2.50λ---⨯-⨯==⨯⨯以其高精度显示光测量的优越性。
例13-9在迈克耳孙干涉仪的两臂中分别引入10cm 长的玻璃管A 、B ,其中一个抽成真空,另一个在充以一个大气压空气的过程中观察到107.2 条条纹移动,所用波长546nm 。
求:空气的折射率?解:设空气的折射率为n ,两臂的光程差为222(1)nl l l n δ=-=-相邻条纹或说条纹移动一条时,对应光程差的变化为一个波长,当观察到107.2 条移过时,光程差的改变量满足:2(1)107.2l n λ-=⨯107.21 1.00029272n l λ⨯=+=例13-10如图所示,牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有一小空气缝隙0e ,现用波长为λ的单色光垂直照射,已知平凸透镜的曲率半径为R ,求反射光形成的牛顿环的各暗环半径。
解:设某暗环半径为r,由图可知,根据几何关系,近似有2(1)2r e R=再根据干涉减弱条件有0122(21)(2)22e e k λλ++=+式中k 为大于零的整数,把式(1)代入式(2)可得r =k 为整数,且2e kλ例13-10图例13-10解图例13-11利用牛顿环的条纹可以测定平凹球面的曲率半径,方法是将已知半径的平凸透镜的凸球面放置在待测的凹球面上,在两球面间形成空气薄层,如图所示。
用波长为 λ的平行单色光垂直照射,观察反射光形成的干涉条纹,试证明若中心 o点处刚好接触,则第 k 个暗环的半径k r 与凹球面半径 2R ,凸面半径 1R (12R R )及入射光波长λ的关系为:21221(1,2,3)k R R k r k R R λ==-解:如图所示,第k 个暗环处空气薄膜厚度为e ∆12e e e ∆=-由几何关系可得近似关系:2112k r e R =, 2222k r e R =第k个暗环的条件为:2(21),0,1,2,22e k k λλ∆+=+=即2e k λ∆=2121122k r k R R λ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭21221k k R R r R R λ∴=-得证。
大学物理典型例题分析 第14章光的衍射例14-1水银灯发出的波长为546nm 的绿色平行光,垂直入射于宽0.437mm的单缝缝后放置一焦距为40c m的透镜,试求在透镜焦面上出现的衍射条纹中央明纹的宽度。
解:两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明纹宽度,对第一级暗条纹(k=1)求出其衍射角1sin a θλ=式中θ1很小11sin a λθθ≈=中央明纹角宽度为122a λθ=透镜焦面上出现中央明纹的线宽度11222f x ftg f a λθθ∆=≈=9332546100.4 1.010m 0.43710---⨯⨯⨯==⨯⨯中央明纹的宽度与缝宽a成反比,单缝越窄,中央明纹越宽。
例14-2在某个单缝衍射实验中,光源发出的光含有两种波长 1λ和 2λ并垂直入射于单缝上,假如1λ 的第一级衍射极小与 2λ 的第二级衍射极小相重合,试问:例13-11图(1)这两种波长之间有何关系?(2)在这两种波长的光所形成的衍射图样中,是否还有其他极小相重合? 解(1)由单缝衍射的暗纹公式:11sin a θλ=22sin 2a θλ=因为1λ的第一级暗纹与2λ的第二级暗纹重叠有1212,2θθλλ==(2) 11112sin 2a k k θλλ== (1)222sin a k θλ= (2)由式(1)式(2)当 22122k k λλ=即 212k k =时,12θθ= 则相应的两暗纹重垒。
例14-3若有一波长为l=600nm 的单色平行光,垂直入射到缝宽a =0.6m m的单缝上,缝后有一焦距f = 40 cm 的透镜。
试求: (1)屏上中央明纹的宽度;(2)若在屏上P 点观察到一明纹,op=1.4mm 问P 点处是第几级明纹,对P 点而言狭缝处波面可分成几个半波带?解:(1) 两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明纹的宽度703610220.40.610x f a λ--⨯∆==⨯⨯⨯ 30.810m 0.8mm -=⨯=(2)根据单缝衍射的明纹公式:sin (21)(1)1,2,32a k k λϕ=+=±±±在衍射角ϕ较小的条件下sin (2)x tg fϕϕ≈=联立式(1)式(2)得12ax k f λ=-3370.610 1.410130.46102---⨯⨯⨯=-=⨯⨯所以p 点所在的位置为第三级明纹,由sin (21)2a k λϕ=+可知当3k =时,可分成217k +=个半波带。