2015 年湖南省中学数学教师解题比赛
高中组初赛试卷(含答案)
(考试时间：2015 年 10 月 24 日 9∶00~11∶00)
说明： 1.请用蓝色、黑色或蓝黑色钢笔或签字笔作答； 2.答案请写在本试卷相应位置，试卷范围以外作答无效；
一、选择题(本大题共 8 小题，每题 5 分，满分 40 分)
1. 如果将整数集 Z 中所有被 3 除所得余数为 k(k＝0，1，2)的整数构成的集合称为一个“类”， 并记为[k]，则下列结论中错误的是( ) A. 2015∈[2] B. Z＝[0]∪[1]∪[2] C.“整数 a，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a＋b∈[0]” D.“整数 a，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]” 解析：选 C 提示：对于 A 选项，由于 2015 被 3 除余 2，所以 2015∈[2]；对于 B 选项，任何一个正整数被 3 除的余数只可能是 0，1，2，所以 Z＝[0]∪[1]∪[2]；对于 C 选项，因为 a，b 属于同一‘类’，不妨 设 a＝2，b＝5，则 a＋b＝7，而 7∈[1]，7[0]，所以 C 错；对于 D 选项，因为 a，b 属于同一‘类’， 可设 a＝3k1＋r，b＝3k2＋r(其中 r＝0，1，2)，则 a－b＝3(k1－k2)∈[0]。
D. 封闭性质
解析：选 B 提示：正是因为封闭性不成立(i2＝－1 时，iR)，所以才要对数集进行扩充。
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分)
9. 已知实数 x，y，z 满足 1 1 1 0 ，则 x y z2 值为＿＿＿＿＿＿＿＿。
xyz
x2 y2 z2
解析：填 1
1 Cmn cos
当 m≠n 时，令 e Cmn 1 ，注意到 C51 C54 , C31 C32 , C41 C43 , C52 C53 ，
所以离心率 e＞1 的取值共有 10－4＝6 个不同的值。
6.
已知非零向量
AB,
AC
满足
AB
AC
BC
0
且
AB
AC
1 ，则△ABC 为(
)
AB AC
解析：选 D
提示：不妨设 AB＝BC＝CD＝BD＝AC＝1，设 AD＝x，取 BC，AD 的中点分别为 E，F，可知
BC⊥平面
AED；由于
SAED
1 2
AD
EF ,
EF
3 2
2
x 2
2
1 2
3 x2 ，
所以三棱锥体积V
x
1 3
SAED
BC
1 12
x
3 x2 ，
又因为V x 1 x
3 x2
围为( )
A.
4 3
，2
B.
1，4 3
C. 1，2
D.
53 40
，4 3
解析：选 C
∵ab c d
a
b
c
d
1
abc bcd cd a d ab abcd abcd abcd abcd
a b c d a b c d 2 abc bcd cd a d ab ac bd ac bd
()
A.128
B.256
解析：选 B
提示：由棣莫佛定理可得：
C.512
D.1024
sin
i cos n
cos(
2
)
i sin(
2
) n
cos( n 2
n)
i sin( n 2
n) ……①
又 sin n i cos n cos( n) i sin( n) ……②
2
2பைடு நூலகம்
由①②得 n n 2k ( n)(k Z ) ，解得 n＝4k＋1。
1
x2
3 x2
1，
12
12
2
8
所以函数 y＝f(x)在其定义域不是增函数但有最大值 1 ，故选 D。 8
5. 对所有满足 1≤n≤m≤5 的 m，n，极坐标方程 Cmn cos 1 表示的不同双曲线条数为
()
A. 6
B. 9
解析：选 A
C. 12
D. 15
提示：当 m＝n 时，
1
表示的是抛物线；
所以∠B＝60。
由正弦定理得 a c b 2 ，则 a＝2sinA，c＝2sinC＝2sin(120－A) sin A sin C sin B
所以 a＋b＋c＝2sinA＋ 3 ＋2sin(120－A)＝ 3 ＋2 3 sin(A＋30)≤3 3 。
3. 若已知(sin＋icos)n＝sinn＋icosn，则由棣莫佛定理可知满足 1≤n≤1024 的 n 的个数为
2. 在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且 cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b＝ 3 ，
那么，△ABC 周长的最大值是( )
A. 3
B. 2 3
C. 3 3
D. 4 3
解析：选 C
提示：由已知 cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，得 2cos2B－3cosB＋1＝0，所以 cosB＝ 1 或 cosB＝1(舍)， 2
2
2
又因为 1≤n≤1024，n∈N，所以 0≤k≤ 255 3 ，故满足条件的 n 共有 256 个。 4
4. 已知四面体有两个面为正三角形，因而有 5 条棱长相等，设第 6 条棱的长为 x，则体积 V(x)( )
A. 是增函数但无最大值
B. 是增函数且有最大值
C. 不是增函数且无最大值
D. 不是增函数但有最大值
AB AC 2
A. 三边均不相等的三角形 C. 等腰非等边三角形 解析：选 D
B. 直角三角形 D. 等边三角形
提示：由于
AB
AC
所在直线穿过△ABC
的内心，再由
AB
AC
BC
0
知
AB
AC
AB AC
AB AC
又由 AB AC 1 知∠A＝60，故△ABC 为等边三角形。 AB AC 2
7. 已知 a，b，c，d 均为正数，且 M a b c d ，则 M 的取值范 abc bcd cd a d ab
提示：由 1 1 1 0 ，知 xy＝xz＋yz xyz
从而
x
x2
y z2
y2 z2
x2
y2
z2 2(xy x2 y2 z2
yz zx)
1
10. 已知三角形三边所在的直线方程分别是：l1：y＝0；l2：x－2y＋1＝0；l3：x－y－1＝0。则经 过三角形三顶点、对称轴为坐标轴的抛物线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿。
∴1＜M＜2。
8. 华夏文化认为宇宙万事万物皆由阴阳或五行和合而成.和，指和谐、和平、祥和；合，指结合、
融合、合作。中华“和合”文化源远流长。作为文化重要组成部分的数学最讲“和合”。在数集
的扩充的过程中，每一次扩充后同样适用于原来的数集，表现为高度“和合”的是( )
A. 大小关系
B. 运算法则
C. 几何意义