点估计和区间估计
• 点估计(point estimation)就是用估计量的实 现值来近似相应的总体参数。 • 区间估计(interval estimation) 是包括估计 量在内（有时是以估计量为中心）的一个 区间；被认为很可能包含总体参数。 • 点估计给出一个数字，用起来很方便；而 区间估计给出一个区间，说起来留有余地； 不象点估计那么绝对。 • 无偏估计(大样本性质)
总体比例（Bernoulli试验成功概率）之差 p1 -p2的区间估计 （大样本、大总体）
ˆ ˆ ( p1 p2 ) z / 2 ˆ ˆ ˆ ˆ p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n1 n2
例5.4 在两个地区对于某商品认可与否的调查结果显示，第一个地 区被调查的950人中有423人认可，而在第二个地区的被调查的1102 人中只有215人认可。求这两个总体比例之差p1 -p2的95%置信区间。 得到（0.211，0.289）
区间估计
• 注意置信区间的论述是由区间和置信 度两部分组成。 • 置信区间是对参数给出的一个范围 • 置信度为其可信程度(大样本意义) • 有些新闻媒体报道一些调查结果只给 出百分比和误差（即置信区间），比 如 “收视率为53%±3%”; 不给出置信 度，也不给出被调查的人数 • 这是不负责的表现。
总体标准差已知
, x z / 2 x z / 2 n n
总体标准差未知
s s , x t / 2 x t / 2 n n
区间估计的例子（1）
例5.1 （数据：noodle.txt, noodle.sav, noodle.sas7bdat）某 厂家生产的挂面包装上写明“净含量450克”。在用天平 称量了商场中的48包挂面之后，得到样本量为48的关于挂 面重量（单位：克）的一个样本(我们假定，挂面重量所 代表的总体分布服从正态分布。 )：
结从 论数 的据 过得 程到 对 现 实 世 界 的
统 计 推 断
估计
• 总体代表我们所关心的那部分世界。 • 而在利用样本中的信息来对总体进行推断 之前人们往往对代表总体的变量假定了分 布族。(描述数据时不用假定) • 比如假定人们的身高属于正态分布族；在 抽样调查时假定了二项分布族等等(这些假 定可能有风险!)。 • 这些模型基本上是根据“经验”来假定的， 仅仅是对现实世界的一个近似。
假设检验的过程和逻辑
• 根据零假设（不是备选假设！），我们可 以得到该检验统计量的分布； • 然后再看这个统计量的数据实现值 （realization）属不属于小概率事件。也就 是说把数据代入检验统计量，看其值是否 落入零假设下的小概率范畴 • 如果的确是小概率事件，那么我们就有可 能拒绝零假设，否则我们说没有足够证据 拒绝零假设。
Independent Samples Test Levene's Test for Equality of Variances t-test for Eq uality of Means 95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper 2.07327 2.07304 7.84673 7.84696
SPSS
Descriptives（ 述 计 ） 描 统 量 结 变 果 量 weight 统 量 计 Mean（ 本 数 样 均 ） 95% Confidence Interval for Mean （ 体 数 95%可 区 ） 总 均 的 信 间 Median（ 位 ） 中 数 Variance（ 差 方 ） Std. Deviation（ 准 ） 标 差 Minimum（ 小 ） 最 值 Maximum（ 大 ） 最 值 Range（ 差 极 ） Interquartile Range（ 分 数 差 四 位 极 ） Lower Bound（ 限 下 ） Upper Bound（ 限 上 ） 统 量 计 值 449.0104 447.4124 450.6084 448.9500 30.287 5.50339 439.60 461.10 21.50 8.18 标 误 准 差 .79435
总体比例（Bernoulli试验成功概率）p的 区间估计 （大总体、大样本）
ˆ p z / 2
ˆ ˆ p (1 p) , n
ˆ p z / 2
ˆ ˆ p (1 p) n
例5.3 在一个大都市中对1341人的随机调查结果显示，有934个人 支持限制小轿车的政策。假定该样本为简单随机样本，希望找出 总体中支持限制小轿车的人的比例的点估计及其置信度为95%的 置信区间。 n=1341;x=934 CI1=function(n,x,alpha){p=x/n;za=qnorm(alpha/2,low=F) a=sqrt(p*(1-p)/n);b=za*a;L1=p-b;L2=p+b;list(1-alpha,L1,L2)} CI1(n,x,.05) 得到(0.672, 0.721)
假设检验
• 在假设检验中，一般要设立一个原 假设； • 而设立该假设的动机主要是企图利 用人们掌握的反映现实世界的数据 来找出假设和现实的矛盾，从而否 定这个假设。
假设检验
• 在多数统计教科书中（除了理论探讨之 外）,假设检验都是以否定原假设为目标。 • 如否定不了，那就说明证据不足，无法否 定原假设。但这不能说明原假设正确。 • 很多教科书在这个问题上不适当地用“接 受原假设”的说法，犯了明显的低级逻辑 错误。
假设检验的过程和逻辑
• 首先要提出一个原假设，比如某正态 总体的均值等于5（m=5）。这种原假 设也称为零假设（null hypothesis）， 记为H0 • 与此同时必须提出对立假设，比如总 体均值大于5（m>5）。对立假设又称 为备选假设或备择假设（alternative hypothesis）记为记为H1或Ha
区间估计的意义
区间估计的意义
• 这里的区间（72%，78%）是固定 的，而总体比例p也是固定的值。 • 因此只有两种可能：或者该区间包 含总体比例，或者不包含；这当中 没有任何概率可言。 • 至于区间（72%，78%）是否覆盖 真实比例，除非一个不漏地调查所 有的人，否则永远也无法知道。
均值m的区间估计 （正态分布）
Std. Error Difference 6 1.45466
输出表的头两列是检验（见下面一章的检验）是否方差相等，如果 Sig下面的数目（下一章的p值概念）较大（比如大于0.05）则没有 证据认为这两个数据总体的方差不等，则看表的第一行结果，否则 认为方差不等，则看表的第二行结果。这里Sig（p值）等于0.556， 因此看第一行结果。于是，我们得到两个样本均值的差(4.9600)， 另外还给出了两总体均值差的95%置信区间(2.073，7.847)。
F heig ht Equal variances assumed Equal variances not assumed .332
Sig . .566
t 3.410 3.410
df 98 97.386
Sig . (2-tailed) .001 .001
Mean Difference 4.96000 4.96000
估计
• 在假定了总体分布族之后，进一步 对总体的认识就是要在这个分布族 中选择一个适合于我们问题的成员 • 由于分布族成员是由参数确定的， 如果参数能够估计，对总体的具体 分布就知道得差不多了。
估计量是用来估计的统计量
• 我们知道，统计量是样本的不包含 未知参数的函数。样本均值、样本 标准差都是统计量。 • 由于样本是随机的，统计量也是随 机变量。 • 用于估计总体参数的统计量称为估 计量；样本均值和标准差都是总体 均值和标准差的常用估计量。
s s x t / 2 , x t / 2 n n
w=scan("D:/booktj1/data/noodle.txt");hist(w,10)
Histogram of w
14 Frequency 0
435
2
4
6
8
10
12
440
445
450 w
455
460
465
summary(w) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 439.6 444.6 448.9 449.0 452.6 461.1
区间估计的例子（2）
• （a）我们想要分别得到这两个总体均值和标准 差的点估计（即样本均值和样本标准差）和各 自总体均值的95%置信区间。利用height2.sav， SPSS得到：作为两个总体均值估计量的样本均 值分别为170.56和165.60，而样本标准差分别为 6.97857和7.55659；还得到均值的置信区间分别 是(168.5767, 172.5433)及(163.4524, 167.7476)。 （计算机输出很容易明白，这里不显示。） • (b)求两个均值差m1-m2的点估计和95%置信区间。 根据数据height2.sav，利用软件很容易得到下 面结果
区间估计
• 降低置信度可以使置信区间变窄（显 得“精确”），有误导读者之嫌。 • 如果给出被调查的人数，则内行可以 由此推算出置信度，反之亦然。
• 一个有10000个人回答的调查显示，同 意 某 种 观 点 的 人 的 比 例 为 70% （ 有 7000人同意），可以算出总体中同意 该 观 点 的 比 例 的 95% 置 信 区 间 为 （0.691，0.709）； • 另一个调查声称有70%的比例反对该 种观点，还说总体中反对该观点的置 信区间也是(0.691，0.709)。
一个描述性例子
一个描述性例子 • 实际上，第二个调查隐瞒了置信 度（等价于隐瞒了样本量）。 • 如果第二个调查仅仅调查了50个 人，有35个人反对该观点。根据 后面的公式可以算出，第二个调 查的置信区间的置信度仅有11%。