中考数学二次函数应用题分类汇编列方程(组)解应用题是中考的必考内容，必是中考的热点考题之一，列方程(组)解应用题的关键与难点是如何找到能够表示题目全部含义的相等关系，所谓“能表示全部含义”就是指在相等关系中，题目所给出的全部条件(包括所求的量)都要给予充分利用，不能漏掉，但也不能把同一条件重复使用，应用题中的相等关系通常有两种，一种是通过题目的一些关键词语表现出来的明显的相等关系，如“多”、“少”、“增加”、“减少”、“快”、“慢”等，另一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含相等关系，这也是中考的重点和难点，此时需全面深入的理解题意，结合日常生活常识和自然科学知识才能做到．解应用题的一般步骤：解应用题的一般步骤可以归结为：“审、设、列、解、验、答”．1、“审”是指读懂题目，弄清题意，明确题目中的已知量，未知量，以及它们之间的关系，审题时也可以利用图示法，列表法来帮助理解题意．2、“设”是指设元，也就是未知数．包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目)．3、“列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程．4、“解”就是解方程，求出未知数的值．5、“验”就是验解，即检验方程的解能否保证实际问题有意义．6、“答”就是写出答案(包括单位名称)．应用题类型：近年全国各地的中考题中涉及的应用题类型主要有：行程问题，工程问题，增产率问题，百分比浓度问题，和差倍分问题，与函数综合类问题，市场经济问题等．几种常见类型和等量关系如下：1、行程问题：s ．基本量之间的关系：路程=速度×时间，即：vt常见等量关系：(1)相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=原来甲、乙相距的路程．(2)追及问题(设甲速度快)：①同时不同地：甲用的时间＝乙用的时间；甲走的路程－乙走的路程＝原来甲、乙相距的路程．②同地不同时：甲用的时间＝乙用的时间－时间差；甲走的路程＝乙走的路程．2、工程问题：基本量之间的关系：工作量=工作效率×工作时间．常见等量关系：甲的工作量＋乙的工作量＝甲、乙合作的工作总量．3、增长率问题：基本量之间的关系：现产量=原产量×(1+增长率)．4、百分比浓度问题：基本量之间的关系：溶质=溶液×浓度．5、水中航行问题：基本量之间的关系：顺流速度＝船在静水中速度＋水流速度；逆流速度＝船在静水中速度－水流速度．6、市场经济问题：基本量之间的关系：商品利润=售价－进价；商品利润率=利润÷进价；利息=本金×利率×期数；本息和=本金+本金×利率×期数．中考数学二次函数应用题分类汇总一，基础类型题1. 一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下列函数关系式：61t 5h 2+--=）（，则小球距离地面的最大高度是（ ）A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米 【答案】C 2. （广东株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=－x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米 【答案】D3. （山东聊城）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A ．50mB ．100mC ．160mD ．200m 【答案】C4. （湖南怀化）出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出（8－x ）个，则当x=________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大. 【答案】45. （山东滨州）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC 。

点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC =4O 米，点B 到水平面距离为2米，OC =8米。

（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2） 为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）（3） 为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O 、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）【答案】解：（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系设抛物线的函数解析式为2y ax =,由题意知点A 的坐标为（4，8）。

且点A 在抛物线上，所以8=a×24，解得a=12,故所求抛物线的函数解析式为212y x =（2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D, 则点A 、D 关于OC 对称。

连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求。

（3）由题意知点B 的横坐标为2，且点B 在抛物线上，所以点B 的坐标为（2，2）又知点A 的坐标为（4，8），所以点D 的坐标为（－4，8）设直线BD 的函数解析式为y=kx+b ，则有2248k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得k=－1,b=4. 故直线BD 的函数解析式为y=－x+4，把x=0代入 y=－x+4，得点P 的坐标为（0，4）两根支柱用料最省时，点O 、P 之间的距离是4米。

6、（衢州）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x 棵橘子树，果园橘子总个数为y 个，则果园里增种 10 棵橘子树，橘子总个数最多．7、（山西）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A ，B 两点，桥拱最高点C 到AB 的距离为9m ，AB=36m ，D ，E 为桥拱底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到直线AB 的距离为7m ，则DE 的长为_____m.【答案】48【解析】以C 为原点建立平面直角坐标系，如右上图，依题意，得B （18，－9），设抛物线方程为：2y ax =，将B 点坐标代入，得a ＝－136，所以，抛物线方程为：2136y x =-， E 点纵坐标为y ＝－16，代入抛物线方程，－16＝2136x -，解得：x ＝24，所以，DE 的长为48m 。

例2(广东省)将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．解答： 解：假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，∴这时平均每棵树就会少结5x 个橙子，则平均每棵树结（600﹣5x ）个橙子．∵果园橙子的总产量为y ，∴则y=（x+100）（600﹣5x ）=﹣5x 2+100x+60000，∴当x=﹣=﹣=10（棵）时，橘子总个数最多．故答案为：10．点评： 此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y 与x 之间的二次函数关系式是解题关键．（1）解：设剪成两段后其中一段为x cm ，则另一段为（20-x ）cm 由题意得：2220()()1744x x -+= 解得：116x =，24x = 当116x =时，20-x =4 当24x =时，20-x =16 答：（略） （2）不能 理由是：2220()()1244x x -+= 整理得：2201040x x -+=∵ △=24160b ac -=-< ∴此方程无解 即不能剪成两段使得面积和为12cm 2二，销售利润问题1 .(南京市) 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元，根据题意得：40(32)(200)242000.1x x --+-=解这个方程得：2.01=x 3.02=x 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元2. （山东泰安）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件。

（1）当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？【答案】（1）获利：（30－20）[105－5（30－25）]=800（元）（2）设售价为每件x 元时，一个月的获利为y 元 由题意，得：y=(x －20)[105－5（30－25）]=－5x2+330x －4600=－5(x －33)2+845当x=33时，y 的最大值是845故当售价为定价格为33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。

3、（滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？（3）请画出上述函数的大致图象．答案】（1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=-6000100202++x x ,0≤x≤20；（2）y=-206135)5.2(2+-x ,∴当x==2.5元,每星期的利润最大，最大利润是6135元；（3）图像略.4、（孝感）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y （件）与销售价格x （元/件）满足一个以x 为自变量的一次函数．（1）求y 与x 满足的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P 最大？解答： 解：（1）设y 与x 满足的函数关系式为：y=kx+b ．由题意可得：解得故y 与x 的函数关系式为：y=﹣3x+108．（2）每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x ﹣20）=﹣3x 2+168x ﹣2160=﹣3（x ﹣28）2+192． 故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．点评： 本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．5、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？解：(1) （130-100）×80=2400（元）（2）设应将售价定为x 元，则销售利润 130(100)(8020)5x y x -=-+⨯ 24100060000x x =-+-24(125)2500x =--+.当125x =时，y 有最大值2500. ∴应将售价定为125元,最大销售6、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？解：（1）(24002000)8450x y x ⎛⎫=--+⨯⎪⎝⎭，即2224320025y x x =-++． （2）由题意，得22243200480025x x -++=．整理，得2300200000x x -+=． 得12100200x x ==，．要使百姓得到实惠，取200x =．所以，每台冰箱应降价200元．（3）对于2224320025y x x =-++，当241502225x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，150(24002000150)8425020500050y ⎛⎫=--+⨯=⨯= ⎪⎝⎭最大值． 所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．7.（山东菏泽）我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠 ；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20－10)=1(元)，因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．(1) 求一次至少买多少只，才能以最低价购买？(2) 写出该专卖店当一次销售x (时，所获利润y (元)与x (只)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？解：(1)设一次购买x 只，才能以最低价购买，则有：0.1(x －10)=20－16，解这个方程得x =50；答：一次至少买50只，才能以最低价购买． (2) 220137(0501[(2013)0.1(10)]8(1050)101613=3(50)x x x x y x x x x x x x x -=⎧⎪⎪=---=-+⎨⎪⎪-⎩＜≤）＜＜≥． （说明：因三段图象首尾相连，所以端点10、50包括在哪个区间均可）(3)将21810y x x =-+配方得21(40)16010y x =--+，所以店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元． 8、(武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？【关键词】二次函数的应用 二次函数的极值问题【答案】解：（1）2(21010)(5040)101102100y x x x x =-+-=-++（015x <≤且x 为整数）；（2）210( 5.5)2402.5y x =--+．100a =-<Q ，∴当 5.5x =时，y 有最大值2402.5．015x <Q ≤，且x 为整数，当5x =时，5055x +=，2400y =（元），当6x =时，5056x +=，2400y =（元）∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．（3）当2200y =时，21011021002200x x -++=，解得：12110x x ==，． ∴当1x =时，5051x +=，当10x =时，5060x +=．∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．9、（黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y 1（元）与国内销售量x （千件）的关系为：y 1=若在国外销售，平均每件产品的利润y 2（元）与国外的销售数量t （千件）的关系为y 2=（1）用x 的代数式表示t 为：t= 6﹣x ；当0＜x ≤4时，y 2与x 的函数关系为：y 2= 5x+80 ；当 4 ＜x ＜ 6 时，y 2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w （千元）与国内销售数量x （千件）的函数关系式，并指出x 的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？分析：（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6﹣x ；根据平均每件产品的利润y 2（元）与国外的销售数量t （千件）的关系及t=6﹣x 即可求出y 2与x 的函数关系：当0＜x ≤4时，y 2=5x+80；当4≤x ＜6时，y 2=100；（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0＜x ≤2；②2＜x ≤4；③4＜x ＜6；（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可．解答：解：（1）由题意，得x+t=6，∴t=6﹣x ；∵，∴当0＜x ≤4时，2≤6﹣x ＜6，即2≤t ＜6，此时y 2与x 的函数关系为：y 2=﹣5（6﹣x ）+110=5x+80；当4≤x ＜6时，0≤6﹣x ＜2，即0≤t ＜2，此时y 2=100．故答案为6﹣x ；5x+80；4，6；（2）分三种情况：①当0＜x ≤2时，w=（15x+90）x+（5x+80）（6﹣x ）=10x 2+40x+480；②当2＜x ≤4时，w=（﹣5x+130）x+（5x+80）（6﹣x ）=﹣10x 2+80x+480；③当4＜x ＜6时，w=（﹣5x+130）x+100（6﹣x ）=﹣5x 2+30x+600；综上可知，w=；（3）当0＜x≤2时，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此时x=2时，w最大=600；当2＜x≤4时，w=﹣10x2+80x+480=﹣10（x﹣4）2+640，此时x=4时，w最大=640；当4＜x＜6时，w=﹣5x2+30x+600=﹣5（x﹣3）2+645，4＜x＜6时，w＜640；∴x=4时，w最大=640．故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元．10、（鞍山）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．解答：解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：，所以y与x之间的关系式为：y=﹣10000x+80000；（2）设利润为W，则W=（x﹣4）（﹣10000x+80000）=﹣10000（x﹣4）（x﹣8）=﹣10000（x2﹣12x+32）=﹣10000[（x﹣6）2﹣4]=﹣10000（x﹣6）2+40000所以当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．11、（咸宁）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？分析：（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由利润=销售价﹣成本价，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．解答：解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，300×（12﹣10）=300×2=600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x ≤40时，w ≥3000．，又∵x ≤25，∴当20≤x ≤25时，w ≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p 元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p 随x 的增大而减小，∴当x=25时，p 有最小值500．即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．12、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．解：（1）根据题意得65557545.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1120k b =-=，．所求一次函数的表达式为120y x =-+． （2）(60)(120)W x x =--+g 21807200x x =-+- 2(90)900x =--+， Q 抛物线的开口向下，∴当90x <时，W 随x 的增大而增大，而6087x ≤≤，∴当87x =时，2(8790)900891W =--+=．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由500W =，得25001807200x x =-+-，整理得，218077000x x -+=，解得，1270110x x ==，．由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而6087x ≤≤，所以，销售单价x 的范围是7087x ≤≤．13、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。