2020年浙江省杭州市中考数学试卷（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.=⨯32（ ） A. 5B.6C.32D.232.（1＋y ）（1－y ）＝（ ） A.1＋y 2B.－1－y 2C.1－y 2D.－1＋y 23.已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元。
圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（） A.17元B.19元C.21元D.23元4.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（ ） A.c ＝b sinB B.b ＝c sinB C.a ＝b tanB D.b ＝ctanB5.若a ＞b ，则（ ） A.a －1≥bB.b ＋1≥aC.a ＋1＞b －1D.a －1＞b ＋16.在平面直角坐标系中，已知函数y ＝a x ＋a （a≠0）的图象经过点P （1，2），则该函数的图象可能是（ ）7.在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数.若去掉一个最高分，平均分为x ；去掉一个最低分，平均分为y ；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z ，则（ ） A.y ＞z ＞xB.x ＞z ＞yC.y ＞x ＞zD.z ＞y ＞x8.设函数y ＝a （x －h ）2＋k （a ，h ，k 是实数，a ＝0），当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8，（ ） A.若h ＝4，则a ＜0B.若h ＝5，则a ＞0C.若h ＝6，则a ＜0D.若h ＝7，则a ＞09.如图，已知BC 是⊙O 的直径，半径OA ⊥BC ，点D 在劣弧AC 上（不与点A ，点C 重合），BD 与OA 交于点E.设∠AED ＝α，∠AOD ＝β，则（ ） A.3α＋β＝180°B.2α＋β＝180°C.3α－β＝90°D.2α－β＝90°10.在平面直角坐标系中，已知函数y 1＝x 2＋a x ＋1，y 2＝x 2＋b x ＋2，y 3＝x 2＋c x ＋4，其中a ，b ，c 是正实数，且满足b 2＝ac.设函数y 1；y 2，y 3的图象与x 轴的交盛个数分别为M 1，M 2，M 3，（ ） A.若M 1＝2，M 2＝2，则M 3＝0 B.若M 1＝1，M 2＝0，则M 3＝0 C.若M 1＝0，M 2＝2，则M 3＝0D.若M 1＝0，M 2＝0，则M 3＝0二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分. 11.若分式11+x 的值等于1，则x ＝__________. 12.如图，AB ∥CD ，EF 分别与AB ，CD 交于点B ，F.若∠E ＝30，∠EFC ＝130，则∠A ＝________. 13.设M ＝x ＋y ，N ＝x －y ，P ＝xy .若M ＝1，N ＝2，则P ＝________.14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，连接AC ，OC.若sin ∠BAC ＝31，则tan ∠BOC ＝________.15.一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5.从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是__________.16.如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF.若点E ，F ，D 在同一条直线上，AE ＝2，则DF ＝_______， BE ＝_______. 三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分6分）以下是圆圈解方程13321=--+x x 的解答过程.解：去分母，得3（x＋1）－2（x－3）＝1.去括号，得3x＋1－2x＋3＝1.移项，合并同类项，得x＝－3.圆圆的解答过程是否有错误?如果有错误，写出正确的解答过程。
18.（本题满分8分）某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件.用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）.已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品。
（1）求4月份生产的该产品抽样检测的合格率。
（2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多?为什么?19.（本题满分8分）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF//AB. （1）求证：△BDE ∽△EFC. （2）设能21=FC AF ， ①若BC ＝12，求线段BE 的长.②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积。
20.（本题满分10分）设函数y 1＝x k ，xky -=2（k ＞0）. （1）当2≤x ≤3时，函数y 1的最大值是a ，函数为的最小值是a －4，求a 和k 的值. （2）设m≠0，且m≠－1，当x ＝m 时，y 1＝p ；当x ＝m ＋1时，y 1＝q.圆圆说：“p 一定大于q ”.你认为圆圆的说法正确吗?为什么?21.（本题满分10分）如图，在正方形ABCD 中.点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AC 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F.设λ=EBCE（λ＞0）. （1）若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长. （2）连接EG ，若EG ⊥AF ，①求证：点G 为CD 边的中点. ②求λ的值。
22.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝x 2＋b x ＋a ，y 2＝a x 2＋b x ＋1（a ，b 是实数，a≠0）. （1）若函数y 1的对称轴为直线x ＝3，且函数y 1的图象经过点（a ，b ），求函数y 1的表达式， （2）若函数y 1的图象经过点（r ，0），其中r≠0，求证：函数y 2的图象经过点（λ1，0）. （3）设函数y 1和函数y 2的最小值分别为m 和n ，若m ＋n ＝0.求m ，n 的值。
23.（本题满分12分）如图，已知AC ，BD 为⊙O 的两条直径，连接AB ，BC ，OE ⊥AB 于点E ，点F 是半径OC 的中点，连接EF.（1）设⊙O 的半径为1，若∠BAC ＝30°，求线段EF 的长. （2）连接BF ，DF ，设OB 与EF 交于点P ，①求证：PE ＝PF.②若DF ＝EF ，求∠BAC 的度数.参考答案二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分. 11.0 12.20° 13.43-14.22 15.8516.152-三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分6分）解：圆圆的解答过程有错误。
正确的解答过程如下：3（x ＋1）－2（x －3）＝6， 3x ＋3－2x ＋6＝6， x ＝－3.所以x ＝－3是原方程的解。
18.（本题满分8分） 解：（1）因为（132＋160＋200）÷（8＋132＋160＋200）×100%＝98.4%.所以4月份生产的该产品抽样检测的合格率是98.4%. （2）3月份生产的产品中，不合格的件数是5000×2%＝100， 4月份生产的产品中，不合格的件数是10000×（1－98.4%）＝160. 因为100＜160，所以估计4月份生产的产品中不合格的件数多. 19.（本题满分8分） 解：（1）因为DE ∥AC ，所以∠BED ＝∠C ，又因为EF ∥AB ，所以∠B ＝∠FEC ，所以△BDE ∽△EFC. （2）①因为EF ∥AB ，所以21==FC AF EC BE 因为BC ＝12，所以2112=-BE BE所以BE ＝4.②因为EF ∥AB ，所以△EFC ∽△BAC. 因为21=EC BE 所以32=BC EC 设△EFC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S ， 所以941=S S因为S1＝20，所以S ＝45.所以△ABC 的面积是45. 20.（本题满分10分） 解：（1）因为k ＞0，x ＞0，所以为随x 的增大而减小，所以当x ＝2时，y 1＝a ，即k ＝2a. ① 又因为－k ＜0，x ＞0，所以y 2随x 的增大而增大， 所以当x ＝2时，y 2＝a －4，即－k ＝2a －8.② 由①，②得a ＝2，k ＝4. （2）圆圆的说法不正确.取m ＝m 0，满足－1＜m 0＜0，则m 0＜0，m 0＋1＞0.所以当x ＝m 0时，p ＝y 1＝m k＜0； 当x ＝m 0＋1时，q ＝y 1＝10+m k＞0. 此时p ＜0＜q ，所以圆圆的说法不正确.21.（本题满分10分） 解：（1）因为在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，所以∠DAF ＝∠F ，又因为AG 平分∠DAE ，所以∠DAF ＝∠EAF ， 所以∠EAF ＝∠F.所以EA ＝EF.因为λ＝1，AB ＝BC ＝2，所以BE ＝EC ＝1.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得EA ＝5. 所以CF ＝EF －EC ＝5－1.（2）①因为EA ＝EF ，EG ⊥AF ，所以AG ＝GF.又因为∠AGD ＝∠FGC ，∠DAG ＝∠F ，所以△DAG ≌△CFG. 所以DG ＝CG ，所以点G 为CD 边的中点. ②不妨设CD ＝2，则CG ＝1. 由①知CF ＝AD ＝2.由题意，知△EGC ∽△GFC ，所以21==CF CG CG EC ， 所以EC ＝21，所以BE ＝23，所以31==EB CE λ22.（本题满分12分） 解：（1）由题意，得2b-＝3，所以b ＝－6， 又因为函数y 1的图象经过点（a ，b ），所以a 2－6a ＋a ＝－6，解得a ＝2或a ＝3. 所以y 1＝x 2－6x ＋2或y 1＝x 2－6x ＋3. （2）因为函数y 1的图象经过点（r ，0），所以r 2＋br ＋a ＝0，因为r≠0，两边同除以r 2，得012=++r a r b ，即011)1(2=+•+rb r a 所以r1是方程a x 2＋b x ＋1＝0的一个实数根，即函数y 2的图象经过点（r1，0）.（3）由题意，得a ＞0，ab a n b a m 44,4422-=-= 因为m ＋n ＝0，所以0444422=-+-ab a b a 所以（4a －b 2）（a ＋1）＝0，因为a ＋1≠0，所以4a －b 2＝0， 所以m ＝0，n ＝0.23.（本题满分12分） 解：（1）因为OE ⊥AB ，∠BAC ＝30°，OA ＝1，所以∠AOE ＝60°，OE ＝21OA ，AE ＝23，又因为点F 是半径OC 的中点，所以OF ＝21OC ＝21， 所以OE ＝OF.所以∠OFE ＝21∠AOE ＝30°，所以∠BAC ＝∠OFE ， 所以EF ＝AE.所以EF ＝23 （2）作FG ⊥AB 于点G ，与BO 交于点H ，连接EH.①因为AC 为⊙O 的直径，所以∠ABC ＝90°，所以FG ∥BC.所以△OFH ∽△OCB.所以21==OC OF BC FH ，同理21=BC OE 所以FH ＝OE.又因为FH ∥OE ，所以四边形OEHF 是平行四边形. 所以PE ＝PF. ②因为OE//FG//BC ，所以1==FCOFGB EG 所以EG ＝GB ， 所以EF ＝BF. 因为DF ＝EF ， 所以DF ＝BF.因为DO ＝BO ，所以FO ⊥BD ，所以△AOB 是等腰直角三角形，所以∠BAC ＝45".。