第五节指数与指数函数
【最新考纲】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为
2，3，10，
1 2
，
1
3
的指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函数模型．
1．根式的性质
(1)(
n
a)n＝a．
(2)当n为奇数时，
n
a n＝a．
(3)当n为偶数时，
n
a n＝|a|＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧a （a≥0）
－a （a＜0）
.
(4)负数的偶次方根无意义．
(5)零的任何次方根都等于零．
2．有理指数幂
(1)分数指数幂
①正分数指数幂：a
m
n＝
n
a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a－
m
n＝
1
a
m
n
＝
1
n
a m
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：
①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)；
②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)；
③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
图象
a＞1 0＜a＜1
定义域R
值域(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
在R上是增函数在R上是减函数
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)
4
（－4）4＝－4.( )
(2)(－1)24＝(－1)1
2＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )
(4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]1
2－(－1)0结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9
解析：[(－2)6]12－(－1)0＝(26)1
2－1＝8－1＝7. 答案：B
3．已知函数f(x)＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )
A. (1，5) B ．(1，4) C ．(0，4) D ．(4，0)
解析：由a 0＝1知，当x －1＝0，即x ＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1，5)．
答案：A
4．(2016·唐山一模)函数f(x)＝2－x －2的定义域是________． 解析：由题意可得：2－x －2≥0，∴2－x ≥2，∴－x ≥1，∴x ≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
5．指数函数y＝(2－a)x在定域内是减函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.
答案：(1，2)
两种方法
1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
三点注意
1．指数函数的单调性取决于底数a的大小，因此解题时通常分0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．
2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成并且一定要注意函数的定义域．
3．对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程式不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．
一、选择题
1．若x＝log43，则(2x－2－x)2＝()
解析：由x ＝log 43，得4x
＝3，即2x
＝3，2－x
＝3
3
，
所以(2x
－2－x
)2
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫2332＝4
3. 答案：D
2．函数f(x)＝2|x －1|的图象是( )
解析：f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧2x －1，x ≥1，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －1，x ＜1，.
由图象特点可知选B. 答案：B
3．函数f(x)＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )
A ．y ＝1－x
B ．y ＝|x －2|
C ．y ＝2x －1
D ．y ＝log 2(2x)
解析：f(x)＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又由1－1＝0知(1，1)不在函数y ＝1－x 的图象上．
答案：A 4．若函数f(x)＝a |2x －4|
(a ＞0，a ≠1)，满足f(1)＝1
9
，则f(x)的单
调递减区间是( )
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：由f(1)＝1
9，得a
2＝
1
9，∴a＝
1
3(a＝－
1
3舍去)，即f(x)＝⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
3
|2x－4|
.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
答案：B
(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析：由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.
所以a＝f＝2||－1＝2log23－1＝2，
b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c＜a＜b.
答案：C
二、填空题
7．(2015·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________．
解析：∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，
∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2. 答案：{x|－1＜x ＜2}(或(－1，2))
8．(2015·山东卷)已知函数f(x)＝a x ＋b(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．
解析：当a ＞1时，函数f(x)＝a x ＋b 在[－1，0]上为增函数，由
题意得⎩⎪⎨⎪
⎧a －1
＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f(x)＝a x ＋b 在[－1，
0]上为减函数，由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨
⎧a ＝1
2，b ＝－2，
所以a ＋b ＝
－3
2
. 答案：－3
2
三、解答题
10．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，求a 的值．
解：令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．
①当0＜a ＜1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
a ，1a ，
此时f(t)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
a ，1a 上为增函数．
所以f(t)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12
－2＝14.
则⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝1
3.
又因为a ＞0，所以a ＝1
3
.
②当a ＞1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
1a ，a ，
此时f(t)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1a ，a 上是增函数．
所以f(t)max ＝f(a)＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)， 综上得a ＝1
3
或3.
11．已知f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x －1＋12x 3
(a ＞0，且a ≠1)． (1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a 的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立． 解：(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}． 对于定义域内任意x ，有
f(－x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a －x －1＋12(－x)3
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
a x 1－a x ＋12(－x)3 ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1－1a x －1＋12(－x)3
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x －1＋12x 3
＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．
(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况．
当x ＞0时，要使f(x)＞0，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x －1＋12x 3
＞0，
即a x ＋1
2（a x
－1）＞0，即a x －1＞0，a x ＞1. 又∵x ＞0，∴a ＞1. 因此a ＞1时f(x)＞0.。