1. 空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算” ，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。
2. 立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。
近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（ 1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。
对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1 ）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（ 3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。
对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。
（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。
1. 线线、线面、面面平行关系的转化：公理4(a//b,b//ca I Ic)面面平行性质IIa,a IIba ,b线线//|疋aII线面平行判定----------------- > 线面// |疋//线面平行性质aIIaIIaII2.线线、线面、面面垂直关系的转化:三垂线定理、逆定理PA , A0为PO在内射影a则a OA a POa PO a AO线线丄a,ba //ba b Aa II ,bII//面面平行判定1面面平行性质1 II////OI a,II线面垂直判定1a b线面丄屯面面垂直判定推论2l，且二面角I线面垂直定义面面垂直性质,成直二面角3.平行与垂直关系的转化:应曲中常坤于"反 '证法”或“同TT4.应用以上“转化”的基本思路一一“由求证想判定，由已知想性质。
5•唯一性结论:① 过直线外一点.有且只有一条直线与己知直线平行” ② 过空间一点.有且只有一条直线与已知平面垂直 ③ 过空间一点’有且只有一个平面与已知直线垂直1.三类角的定义:线线///面面平行判定2面面-线面垂直性质2a(1)异面直线所成的角B:(2 )直线与平面所成的角:( 0 时，b // 或 b（3）二面角：二面角的平面角B, 0 ° <0 480（三垂线定理注）2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1 ）找出或作出有关的角;（2 ）证明其符合定义；（3 ）指出所求作的角；（4 ）计算大小。
（三）空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。
求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。
【典型例题】J4 0（一）与角有关的问题 例1. (1 )如图,E 、F 分别为三棱EF = 7,则异面直AB 与PC 所成的角为（A. 60B. 45C. 30D. 120解：取AC 中点G ,连结EG 、 FG ,2 2EG FG cosZ EGF2 • EG •EF 2FG52322 5 372••AB 与PC 所成的角为180 ^20=60（2 ）已知正四棱锥以棱长为EG // 丄 PC , FG // 丄AB2 2•••/EGF 为AB 与PC 所成的角在AEGF 中，由余弦定理,•••选 A1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面 积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（）OA 土 13D..26 26设正四棱锥的高为h,斜高为h' . h21解：2由题意：丄4 1 . h2112 6 122 \ 2:.cos Z PBO213PB V26132•••选 A(3)如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1上的一个定点，A 1B 1上的任意一点，E 、F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，有下列命题:① 点P 到平面QEF 的距离为定值； ② 直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值； ③ 二面角P — EF — Q 的大小为定值； ④ 三棱锥P — QEF 的体积为定值 其中正确命题的序号是 _____________p A1 B•••侧棱长 PB .. h 2OB 2、262鉀平面QEF即是平面A1B1CD解： 1 1二A1D1上定点P到面A1B1CD的距离为定值•••①对，②错二面角P— EF— Q,即面PDF与面A1B1CD所成的角，且平面角/ PDA 1为定值，.••③对因为A1B1 // DC,且EF为定值，• S QEF为定值又P点到平面QEF的距离为定值，• V P QEF为定值，•④对综上，①③④正确。
例2.图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图(2)的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：(1 )求MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体 M — NPQ的体积与正方体的体积之比；(3)求二面角M — NQ — P的大小。
图①16 即四面体M — NPQ 的体积与正方体的体积之比为1 : 6解：(1 )如图②，作出 MN 、PQ••PQ //NC，又△ MNC 为正三角形/•J MNC = 60(3)连结 MA 交PQ 于0点，贝U MO 丄PQ 又NP 丄面PAQM , A NP 丄MO ，贝U MO 丄面PNQ 过O 作OE 丄NQ ，连结 ME ，贝U ME 丄NQ•••JMEO 为二面角 M — NQ — P 的平面角在 Rt△NMQ 中， ME NQ = MN MQPQ 与 MN成角为60 °(2)V MNPQVQ PMN丄S PMN3MQ11• 2S PMN • MQSPMDN° MQ66V正方体图②设正方体的棱长为 a2a °aME6 、2 a,又MO 2a 3 2在 Rt MEO 中，sin / MEO MO 2 9 3ME6 2 a3/•J MEO = 60 °即二面角M — NQ — P的大小为60例3.如图，已知四棱锥 P— ABCD , PB丄AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面 PAD与底面ABCD所成的二面角为120 °。
（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。
F解：（1 ）作PO丄平面 ABCD，垂足为 0，连结 OB、OA、OD , OB与AD交于点E,连结PE••AD 丄 PB,「.AD 丄 OB （根据 __________••PA = PD ,「.0A = OD于是OB平分AD，点E为AD中点A E f y的正三角形在Rt AGE 中，AE 1 丄AD 2••PE 丄 AD•••/PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角•••zPEB= 120。
，启EO = 60 °—°_ ■ 3 又PE ,3，二 PO PEsin60 3 •-2即为P点到面ABCD的距离。
(2)由已知ABCD为菱形，及△ PAD为边长为2 .•PA = AB = 2，又易证 PB 丄 BC故取PB中点G, PC中点F则 AG 丄 PB, GF //BC又 BC丄 PB,.GF丄 PB•••ZAGF为面APB与面CPB所成的平面角••GF //BC//AD，./AGF = n-Z GAE连结GE，易证AE丄平面POB又PE BE 3，G为PB中点1• / PEG - / PEB 60°2• GE PE cos60°ge• tan / GAEAEarcta n—32arctan ----2所以所求二面角的大小为arcta2(2)解法2 :如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点, x轴平行于DA P(0，0，3)，B(0， 3. 3飞，0)PB的中点G的坐标为( ，连结AG由此得到GA 0)，3.320)BC (2, 0，于是GA -PBGA、于是cos (1.34I)，PB(0,3.. 32 BC • PBPB，BC 丄PBBC的夹角为所求二面角的平面角GA • BC•所求二面角大小为2 J7 arccos—7|GA| • |BC|(二)与距离有关的问题例4. (1 )已知在△ ABC中，AB = 9，AC = 15，/BAC = 120 °，它所在平面外一点 P到厶ABC三个顶点的距离都是 14，那么点P到平面ABC的距离是( )A. 13B. 11C. 9D. 7解：设点P在△ABC所在平面上的射影为 Oasi nA2R ,二 R(2)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB BC 2 , BB 12,Z ABC•.PA = PB = PC,「.O 为△ABC 的外心 △ABC 中，AB = 9, AC = 15，/BAC = 120i 22o二 BC 915 2 9 15 cos120 21••• PO 142 7 3 $ 790o, E 、F 分别为AA 1> C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 ____________AC212解：(采用展开图的方法)将平面B 1BCC 1沿B 1B 旋转使两矩形A 1ABB 1与B 1BCC 1在同一平面内 连接EF ,则EF为所求的最短路径Ai5B如图①，EFA “E 2A 1F 2如图②展开, EF（2）2 1222 2如图③展开, EF比较这三种方式展开，可见沿表面从E 到F 的最短路径点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。
但 必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。
BiBi F 6EC图①6 A]图③127 2 22，设地A 丄2& 由题意Z AO 1B解:1360140130Ro 90(3)在北纬45 °圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140 °与西经130 °(01为小圆圆心)又由题意0“A01B —R 1 12则 1AB 中，AB R■■■/AOB 为正三角形(0为球心)/•Z AOB —3/ A 、B 两点球面距离为 一R3•••选 D例5.如图，四棱锥P — ABCD ,底面ABCD 是矩形，PA 丄平面ABCD , E 、F 分别是AB 、 PD 中点。