• 其中arctan(x)可由泰勒级数算出。类似方法称为“梅钦类公式”。 1873 年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位，可惜 他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共 同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。
计算机时代
• 1949年，美国制造的世上首部电脑－ENIAC（Electronic Numerical Interatorand Computer）在亚伯丁试验场启用 了。 次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑， 计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成 了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分 钟算出一位数。五年后，NORC（海军兵器研究计算机） 只用了13分钟，就算出π的3089个小数位。科技不断进步， 电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、 英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也 越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和M. Bouyer发现 了π的第一百万个小数位。
例如，金字塔的周长和高度之比等 于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半 径之比。
公元前800至600年成文的古印度宗 教巨著《百道梵书》（Satapatha Brahmana）显示了圆周率等于分数 339/108, 约等于3.139。[3]
• 几何法时期
• 古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突 出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过数学算法计算圆周率近似 值的先河。他求出圆周率的下界和上界分别为 223/71 和22/7， 并取它们的平均值3.141851 为 圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两 侧数值逼近的概念，称得上是“计算数学”的鼻 祖。
匾清楚地记载了圆周率 = 25/8 = 3.125。 同一时期的古埃及文物也表明圆周率等
于分数16/9的平方，约等于3.16。 埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率
了。

英国作家 John Taylor (1781–1864) 在其名著《金字塔》中指出，造于公元前 2500年左右的金字塔和圆周率有关。
公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之 进一步得出精确到小数点后7位的π值，给出不足 近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得 到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。在 之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。 其中的密率在西方直到1573年才由德国人奥托得 到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中， 欧洲称之为安托尼斯率。
• 2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近 藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万 亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位 吉尼斯世界纪录。今年56岁近藤茂使用的是自己 组装的计算机，从去年10月起开始计算，花费约 一年时间刷新了纪录。
• 在1976年，新的突破出现了。萨拉明（Eugene Salamin） 发表了一条新的公式，那是一条二次收敛算则，也就是说 每经过一次计算，有效数字就会倍增。高斯以前也发现了 一条类似的公式，但十分复杂，在那没有电脑的时代是不 可行的。之后，不断有人以高速电脑结合类似萨拉明的算 则来计算π的值。
• 1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷－2型 和IBM－VF型巨型电子计算机计算出π值小数点 后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数， 创下最新的纪录。2010年1月7日——法国一工程 师将圆周率算到小数点后27000亿位。2010年8月 30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机 和云计算相结合，计算出圆周率到小数点后5万亿 位。
圆周率优秀课件
定义：
圆周率，一般以π来表示，是一个在数学 及物理学普遍存在的数学常数。它定义为 圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之 面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、 圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在 分析学上，π可以严格地定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x。
历史发展：
• 实验时期 一块产于公元前1900年的古巴比伦石
• 约在公元530年，印度数学大师阿耶波多利 用384边形的周长，算出圆周率约为 √9.8684。婆罗门笈多采用另一套方法，推 论出圆周率等于10的算术平方根。
• 阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率 17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年 的纪录。德国数学家柯伦于1596年将π值算 到20位小数值，后投入毕生精力，于1610 年算到小数后35位数，该数值被用他的名 字称为鲁道夫数。
分析法时期
• 这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求π，摆脱可割圆
术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达 式纷纷出现，使得π值计算精度迅速增加。 • 鲁道夫·范·科伊伦（约1600年）计算出π的小数点后首35位。 • 斯洛文尼亚数学家JurijVega于1789年得出π的小数点后首140位，其 中只有137位是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他利用了 JohnMachin于1706年提出的数式。 • 但是上述的方法都不能快速算出π。第一个快速算法由英国数学家梅 钦提出，1706年梅钦计算π值突破100位小数大关，他利用了如下公 式：[6]
中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）的 中有“径一而周三”的记载，意即取π=3。[4]汉 朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等 于10的开方（约为3.162）。这个值不太准确，但 它简单易理解。
公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计 算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一 直算到圆内接正192边形。他说“割之弥细，所 失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合 体而无所失矣。”，包含了求极限的思想。后来 发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到 1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满 意的圆周率3927/1250=3.1416。