yy 2 m 2 n mn 21 2 n 1n 22 2 n 2 n 23 2 n 3n
t qi ij x j
t q qV
xx cos 2 sin 2 xy yx ( ) cos sin yy sin 2 cos 2
xx cos 2 sin 2 xy yx ( ) cos sin yy sin 2 cos 2
作业：
1) 假设球坐标系的坐标轴为导热系数的主轴，推导球坐标系下的非稳态导热方程。
2) 推导：各向同性材料在球坐标系下的非稳态导热方程。
V 0
z
V
V
A
qd A
V
q3 H 2 dx2 H1dx1 q3 H 2 dx2 H1dx1
V
(q3 H 2 dx2 H1dx1 )dx3 ... x3
x3
x
y
(q3 H 2 dx2 H1dx1 )dx3 ... (q3 H 2 H1 )dx1dx2 dx3 ... q d A x x 3 3 V V H1 H 2 H 3dx1dx2 dx3 (q3 H 2 H1 ) ( q2 H 1 H 3 ) (q1 H 2 H 3 ) x x2 x1 q 3 H1 H 2 H 3
3) 证明：各向异性材料的导热系数张量λij是对称张量。
离散Fourier 展开
f(x) yi
n
C e
n

I
nπ x L
k N
Ck e
N
I
2kπ xi 2N1

k N
Ck e
N
I
2kπ iΔx 2N1

k N
Iθ i C e k
N
ε ψ(t)e
c
'ij im jnmn
xx 1m1n mn 111n1n 121n2n 131n3n xy 1m 2 n mn 11 2 n 1n 12 2 n 2 n 13 2 n 3n
yx 2 m1n mn 211n 1n 221n 2 n 231n 3n
t 2t 2t 2t 2t c xx 2 yx xy yy 2 qV x yx xy y t 2t 2t 2t 2 2 2 2 c ( cos sin ) 2 2( ) cos sin ( sin cos ) 2 qV x yx y
t x2
0 0 3
t x3
与该主值对应的坐标系称为主轴坐标系，在主轴坐标系内有：
t q'1 1 x1
q '2 2
q '3 3
a) 已知任一坐标系的导热系数，求主值和主轴坐标系： b) 已知主值和主轴坐标系，求任一坐标系的导热系数：
'ij im jnmn
c) 导热系数：
Q q d A t d A
A A

q t
J /( s m 2 ) W 单位： K /m K m
新材料、节能、导热系数 现行国家标准(GB 4272—92)规定：平 均温度在350℃以下，导热系数低于 0.12时，这种材料称为保温材料。

② 微分形式的方程
t c dV t d A qV dV t c dV n (t )dA qV dV
dA
n
q
V
A
c
t dV (t )dV q dV V
q t a 2t V c
x2 x1
c
t (t ) qV
(q3 H 2 H1 ) ( q2 H 1 H 3 ) (q1 H 2 H 3 ) x x2 x1 q 3 H1 H 2 H 3 t t t ( H 2 H1 ) ( H1 H 3 ) ( H2H3 ) x H 3 x3 x2 H 2 x2 x1 H1 x1 (t ) 3 H1 H 2 H 3 t t t ( H 2 H1 ) ( H1 H 3 ) ( H2H3 ) x2 H 2 x2 x1 H1 x1 t x3 H 3 x3 c qV H1 H 2 H 3
t 2t c ij qV xi x j
③ 坐标变换
z'
z
y'
e'i ij e j
ij cos( e'i , e j )
x
y
x'
根据张量定义，在不同坐标系中的张量有以下关系：
'ij im jnmn
根据张量性质，存在主值，使得：
1 0 'ij 0 2 0 0
t 如图二维平扳，已知主轴方向 的传热系数，推导导热微分方程式。假设为二维问题，t 在 z 方向上没有变化： 0 z
④ 例：

y


ij cos( e'i , e j )
x
cos ij sin 0 sin cos 0 0 0 1
通大学出版社 2000 72.54/4712-1.2 上海交
3 高等传热学 张靖周编著 科学出版社 2009 TK124/34 4 高等传热学
程俊国等编 重庆大学出版社 199172.54/2626
5 高等传热学:导热与对流的数理解析 孙德兴编著 中国建筑工业出版
社 2005 TK124/5
6 高等传热学.第2版 贾力, 方肇洪 高等教育出版社 2008
常数
（ 0 1 bt）
c) 导热系数：
各种物质的导热系数相差很大，原因在于不同的物质其导热机理存在着差异。 同一种物质的导热系数是物质温度和压力的函数。 工程计算采用的各种物质的导热系数都是用专门实验测定出来的，物质的导热 系数值可以查阅相关文献。
1.2 固体导热问题的数学描述
① 积分形式的方程

t t dx dA ( ) Adx 2h(t f t ) L 0 x A x x A cos
t dx ( A ) dx 2h(t f t ) L 0 x x cos
t L (A ) 2h(t f t ) 0 x x cos

y

c
t q qV
qi ij
t x j
x
qi 2t q ij xi xi x j
t 2t c ij qV xi x j
t 2t 2t 2t 2t c 11 21 12 22 qV x1x1 x2x1 x1x2 x2x2
高等传热传质学
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 导热理论和导热微分方程 稳态导热 非稳态导热 凝固和熔化时的导热 导热问题的数值解 对流换热基本方程 层流边界层的流动与换热 槽道内层流流动与换热 湍流流动与换热 自然对流 热辐射基础 辐射换热计算 复合换热
参考资料：
1 高等传热学 贾力等[著] 高等教育出版社 2003 72.54/1040 2 高等传热学:热传导和对流传热与传质 杨强生,浦保荣编著
静止时：
dA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
q
V
A

U dV t d A qdV
静止的固体：
c
t dV t d A qdV
t c dV t d A qV dV
qV：单位时间、单位体积的固体通过辐射或者热源获得的热量
例：变截面直肋的导热微分方程
1 2t 1 t 2t 2 2 C a
常物性下的扩散方程
t c ( t ) q V dV 0
对超低温或极短时间 加热时的修正
t c (t ) qV 0
导热微分方程
t a 2t
t t t (r ) ( ) (r ) t z z r r r c qV r
柱坐标系中的导热微分方程
2t 1 2t 1 t (r ) 0 z 2 r 2 2 r r r
柱坐标系中的Laplace equation
2t qV
Fourier方程
c
t (t ) qV

0
Poisson equation Laplace equation
2t 0
x3
③ 曲线坐标系中的导热微分方程
c
t (t ) qV
dA
n
x1
q
x2
r
qd A q lim
2001 72.54/1216
TK124/28
7 高等传热学学习指导及典型题精解 张强编著 西安交通大学出版社
考核要求：
1 作业：40% 2 读书笔记：30% 3 论文：30%
Chapter 1 理想气体的热力过程
1.1 导热基本方程 1.2 固体导热问题的数学描述 1.3 各向异性材料中的导热
② 热流向量 q
0

x
1.3 各向异性材料中的导热
① 广义Fourier定律
q t
t qi ij x j
② 导热微分方程
根据张量识别定理，ij必定为二阶张量。
a) 直角坐标系下的导热微分方程：
c
t q qV
qi ij
t x j
qi 2t q ij xi xi x j
×
I iθ
0