求阴影面积的常用方法
计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难 点。
不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形 组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。
现 介绍几种常用的方法。
、转化法 此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相 等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
例1.如图1,点C 、D 是以AB 为直径的半圆0上的三等分点，AB=12则图中由 弦AC AD 和窗围成的阴影部分图形的面积为 _________________ 。
分析：连结CD OC OD 如图2o 易证AB//CD ，则曲仞和&OUD 的面积相等, 所以图中阴影部分的面积就等于扇形 OCD 勺面积。
易得，故
---------- =DJT
360
、和差法 有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组 合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求， 从而达到化繁为简的目的。
例2.如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=B /DF 为4圆，求阴影部分面积。
分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形 ABCD 扇形ADE 只迪 J 9°
用牢 +4x8-1x4x12 = % + S 360 2
'阴影='障屢伽+ £縫删g —' 所
以，
B
图1
6
三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。
这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。
要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
例3.如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
涮蔭
图4
解：因为4个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面£=2心
（丝）2-/ =（壬-1）/
积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。
故 2 2 四、补
形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。
例4.如图5,在四边形ABCD中AB=2 CD=1 Z占=A5 = ZD = 93，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。
E
图5
解：延长BC AD,交于点E,因为厶a，厶5 = 90。
，所以N E=?0。
，又三EDC = 90。
，所以CE=2CD, DE = 43易求得朋=2希所以
1 1 H 衍
弘笔=£如-S =寸® EE-寸D DE = +
五、拼接法
例5.如图6，在一块长为a 、宽为b 的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小 路任何地方的水平宽都是c 个单位），求阴影部分草地的面积。
解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图 9。
设切点为H,连结OH 、OB 由垂
解：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； c
个单位；（3）得到一个新的矩形（如图7）。
水平方向的长变成了 ，所以草地的面积为 （2）将左侧的草地向右平移 由
于新矩形的纵向宽仍然为 b ， b （a-c ） = ab - be。
六、特殊位置法
例6.如图8,已知两个半圆中长为4的弦AB 与直径CD 平行，且与小半圆相切, 那么图中阴影部分的面积等于 _____________________ 。
分析：在大半圆中，任意移动小半圆的位置,
将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图
阴影部分面积都保持不变，所以可 9）。
图e
B
A
00) D
图9
BH = -AB = 2 r .
径定理，知2 。
又AB切小半圆于点H,故0H1AB，故OB^ - 0屮
七、代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。
例7.如图10，正方形的边长为a,分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积。
图10
解：设阴影部分的面积为x，剩下的两块形状、大小相同的每块面积为y，贝W
1
中正方形的面积是龙+O，而x+y是以半径为a的圆面积的「故有签+ W
X -hy =盂二（一一1）屮（—-
4 。
解得2 。
即阴影部分的面积是2 。
需要说明的是，在求阴影部分图形的面积问题时，要具体问题具体分析，从而选取一种合理、简捷的方法。
思考吧如图11,正方形的边长为1,以CD为直径在正方形内画半圆，再以点C 为圆心、1为半径画弧BD,则图中阴影部分的面积为
图H
二、组合图形
1四边形与圆组合
例6:如图，已知△ ABC 内接于O 0,且AB = BC = CA = 4cm ，则图中阴影部分的面积是
2
cm 。
B (C)
A,
fj O
例7:如图，A 、B 、C 、D 是圆周上的四点，且 AB + CD = A D ^
BC ,如果弦AB 的长为8, 弦CD 的长为4，那么图中两个弓形（阴影部分）的面积和是 ______________ 。
（兀取3）
5、环形
例&如图，在两个同心圆中, 影部分面积是
P 是大圆上任一点, PA 切小圆于点 A ，设PA = 4，则图中阴
6、扇形
例9:如图，在矩形ABCD 中, 于
P ,则图中阴影部分的面积为
AB = 1, ()
AD =，以 BC 的中点E 为圆心的 皿介与AD 相切 2兀
3兀
（计）匸（C ）
厂(D )
例10：如图，四个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是
（A ）0；（ B ）2；（ C ） 3；（ D ）4。
r '1
関
I
A
-l_ • •• 3 •一
2、圆与圆组合 例11：如图，AB 、AE 则图中阴影部分的面积为 分别为两个半圆的直径，弦 CD // AB ，且与小圆相切，若 CD = 12,
点*a
/ 、*'二汽沁八 f ——i ： <—、、八-:-!
A E O B
例12:如图，设计一个商标图案 8cm ，以点为圆心，AD （如图阴影部分），在矩形 长为半径作半圆，则商标图案面积为 C
B
BC 的长为半径作 ）
—"■
C C F
A O B
4、扇形与圆组合 例13：如图，o O 半径为 CED ：则C ED
与CAD 所围成的阴影部分的面积是 ______________ ; 三、动态图形 1、 翻折 例14:矩形ABCD 的长、宽分别为 5和3,将顶点C 折过来，使它落在 为折痕），那么阴影部分的面积是 ____________________________________ ; 2、旋转 例15:如图，将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转 60°,得正方形A /
B /
C /
D /
， 则旋转前
后两个正方形重叠部分的面积是
2cm ,直径AB 垂直于直径 CD ，以B 为圆心, AB 上的C 点（DE。