《双曲线的定义及其标准方程》
知识点一：双曲线的定义
把平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 知识点二：双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴
x 轴 y 轴 标准方程
图形 焦点坐标
F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) a ，b ，c 的关系式 a 2＋b 2＝c 2
题型一：双曲线的定义及应用
例1：若F 1，F 2是双曲线x 29－y 2
16
＝1的两个焦点．若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离．
例2、已知方程x 21＋k －y 2
1－k
＝1表示双曲线，则k 的取值范围是
题型二：求双曲线的标准方程
例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上；
（2）a ＝4，经过点A ⎝
⎛⎭⎫1，－4103；
（3）过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭
⎫－163，5且焦点在坐标轴上；
（4）与双曲线x 216－y 24
＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；
（5）以椭圆x 23＋y 24
＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点。

课后训练
类型一：双曲线的定义及应用
1、若双曲线E ：x 29－y 216
＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于
2、若方程x 2k ＋3＋y 2
k ＋2
＝1，k ∈R 表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是
3、双曲线x 24－y 216
＝1的焦点坐标为________．
4、设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29
＝1的一个焦点，则m ＝________.
5、已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )
6、设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224
＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于________.
7、已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在双曲线上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝
类型一：求双曲线的标准方程
1、求满足下列条件下的双曲线的标准方程
（1）若a ＝3，b ＝4
（2）a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上
（3）已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0,6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于8；
（4）已知某双曲线与x 216－y 24
＝1共焦点，且过点(32，2)
（5）以椭圆x 216＋y 29
＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)
（6）与椭圆x 24
＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)
（7）以椭圆x 28＋y 25
＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3，10)
（8）已知双曲线过点P 1⎝⎛⎭⎫－2，352和P 2⎝⎛⎭
⎫473，4
（9）已知双曲线通过M (1,1)，N (－2,5)两点
（10）已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)
（11）与椭圆x 227＋y 2
36
＝1有共同的焦点且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4.
（12）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双
曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1。