实变函数测试题10
1、设111,1,1,2,3,,n A n n n ⎛
⎤=--+= ⎥⎝
⎦ 分别求{}n A 的上极限与下极限。
解：[]k lim {}1,1k k x A x A x A →∞
=∈=-存在无限多个，使
[]lim {}1,1k k x A x k x A →∞
=∈=-当充分大，总有
2、试证明下面三个陈述等价 （1）0P 是E 的聚点。
（2）0P 的任意领域内，至少含有一个属于E 而异于0P 的点。
（3）存在中互异的点所成的点列{}n P ，使得0()n P P n →→∞。
证：由（1）推出（2）及由（3）推出（1）是显然的，现证由（2）推出（3）.
由假定在0U(P ,1)中至少有一点1P 属于E 而异于0P ，令
1011
min{(,),}2d P δδ=，则在01(,)U P δ中至少有一点2P 属于E 而异于0P ，令
2201
min{(,),}3
d P P δ=，则在02(,)U P δ中又至少有一点3P 属于E 而异于0P ，这样
继续下去，便得到点列{}n P ，它显然满足要求，证毕. 3、设12,,
,n S S S 是一些互不相交的可测集合，,1,2,,,i i E S i n ⊂=求证
1
2
12*()***n n m E E E m E m E m E =++
+。
证：因为12,,,n S S S ⋅⋅⋅互不相交，且,1,2,,,i i E S i n ⊂=⋅⋅⋅所以12,,,n E E E ⋅⋅⋅也不相
交。
令T =
1
n
i i E =，易知1
1
1
,(
)()n
n
n
i i i i i i i i T S E T S T S E T ===⋂=⋂=
⋂=
=。
所以
*
*
*
*
*1
1
1
1
((
))(
())().n
n
n
n
i i i i i i i i m T m T
S m T
S m T
S m E ========∑∑
4、证明有理数集是可测集。
证：令E 为R 中的有理数全体，则E 为可数集。
设12{,,
,,}n E r r r =，则对
0ε∀>，令 11,22i i i i i I r r εε++⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，则2i i I ε=，1
i i E I ∞=⊂
，而1
1
2
i i
i i I ε
ε∞
∞
====∑∑
，
故*
1
inf i i m E I ∞
=≤∑即*0m E =。
下证E 可测。
对任意T ，()()T E
T T
E =，所以**()*()m T m E T m T
E ≤+。
又 ()E T E ⊂，所以*()*0.T ,*(T
)*m E T m E E T m E m T ≤=⊂≤，
所以 *()*()*m E T m T
E m T +≤， 所以**()*()m T m T
E m T
E =+，
因而E 是可测的。
5、设q E R ⊂， *0m E =，试证对任意的q A R ⊂，有**()m E A m A =。
证：****()m E
A m E m A m A ≤+=
又 A E A ⊂
则 **m ()m A E A ≤ 故 **m ()m A E
A =
6、设有指标集I ，I x f ∈αα)}({是p R 上的一簇可测函数，试问)(sup )(x f x S I
αα∈=是
否也是p R 上的可测函数，为什么？ 解：不一定。
设I 是E 上的不可测集，对I α∀∈，令 1,,
()0,x f x x ααα=⎧=⎨≠⎩。
则[]1,,()sup ()0,0,1\I x I S x f x x I αα∈∈⎧⎪
==⎨∈⎪⎩。
不可测。
7、证明：)(x f 在E 上为可测函数的充要条件是对任一有理数r ，[]r f E >可测。
如果集[]r f E =可测，问)(x f 是否可测？
证：若对[],f a Q E r ∀∈>可测，则对任意R,a ∀∈记{}n r 是大于a 的一切有理数，
则有[][]1
n i E f a E f r ∞=>=
>，由[]n E f r >可测得[]E f a >是可测的，所以
()f x 是E 上的可测函数。
若对[],r Q E f r ∀∈=可测，则()f x 不一定是可测的。
例如，(,)E =-∞+∞，
z 是(,)-∞+∞中不可测集。
对任意x z ∈
，()f x =
,()x z f x ∉=任意的有理数，[]E f r ==∅
是可测的。
而E f z ⎡>=⎣是不可测的。
一次f 不是可测的。
8、设()f x ，()g x 是E 上非负可测函数且()()f x g x E 上可积。
令[]y E E g y =≥。
证明：
()()y
E F y f x dx =⎰
对一切0y >都存在，且成立
()()()E
F y dy f x g x dx ∞
=⎰
⎰。
证：由于()g x 是E 上非负可测函数，则对0,y y E ∀>是可测集，从而
()d y
E F y f x x =⎰（）存在且()0F y ≥。
用Fubini 定理，可知
()()
()
00
()
()()
()1()()y
y y
E E E
E E
g x E
E
F y f x dx dy x f x dx dy f x x dy dx
f x dy dx
f x
g x dx χχ+∞
+∞
+∞
+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭
====⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰（）（）（
）（）。
这里y
E x χ（）表示y E 上的特征函数。
9、设,mE <∞ ()f x 在E 上可积，[],n e E f n =≥则 lim 0n n
n me ⋅=。
证： 由于()f x 在E 上可积，故为E 上..a e 有限的可测函数，所以
0mE f =⎡=∞⎤=⎣⎦。
另外，由11,n n e e me mE +⊃≤<∞以及1
n i e E f ∞
==⎡=∞⎤⎣⎦，
则有
lim 0n n
me mE f =⎡=∞⎤=⎣⎦。
由于f x （）
可积，由积分的绝对连续性，对于0ε∀>，0δ∃>，当e E ⊂
且me δ<时，
e
f x dx ε<⎰
（）。
对此0δ>，存在N ，使当n N >时，n me ε<，故 n e
n me f x dx ε≤<⎰（），
即
lim 0n n
n me =
10、试述有界变差函数的定义，并证明在[,]a b 上的任意有界变差函数()f x 都可
以表示成两个增函数之差。
解: 设()f x 为[,]a b 上的有限函数，如果对于[,]a b 的一切分划
012:n T a t t t t b =<<<
<=
使 11()()n i i i f x f x -=⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭∑成一有界数集，则称()f x 为[,]a b 上的有界变差函数（囿
变函数），
并称这个上确界为()f x 在[,]a b 上的全变差，记为()b
a V f 。
证明：由定理可知()=V()x
A
g x f 是[,]a b 上的增函数。
令()()()h x g x f x =-，则有()h x 是[,]a b 上的增函数。
因为对于12a x x b ≤<≤有，
()
()
2
1
212121212121()()()()()()()()()()()()()0x x h x h x g x g x f x f x V f f x f x f x f x f x f x -=---=--≥---≥。
所以()()()f x g x h x =-，其中()g x ，()h x 均为[,]a b 的有限增函数。