一、问题重述近年来徐州旅游景点越来越成为市民休闲娱乐的好去处，但是也给旅游景点生态环境造成了越来越大的破坏。
为了解游客对徐州旅游景点的评价及建议，某研究小组先后于2012年5月22日和9月10日分别在云龙湖风景区和彭祖园风景区入口处进行了两次问卷调查，共发放调查表300份，收回有效问卷275份，得到影响旅游景点的影响因素数据见附表1，旅游景点管理措施见附表2。
请您的研究团队分析有那些因素对旅游景点的生态造成破坏，并建立数学模型对以上的调查数据进行分析找出影响的主要因素。
1、哪些因素对旅游景点环境的影响最大2、哪些因素对旅游景点环境的管理作用最有效3、根据以上模型的结果，写一篇论文，论证怎样采取最有效措施保护旅游景点的生态环境。
二、问题分析2.1对于问题一的分析问题一，是分析哪个因素对旅游景点环境的影响最大。
通过问卷调查可知，旅游景点环境的影响主要受超负荷的接待量、过多的人工建筑、游客的不文明行为、房地产开发的威胁、汽车尾气及噪音这几个因素的影响。
由于多变量使问题分析变得错综复杂，并且这些变量之间存在某些内在关联性，可以在尽可能保持原有信息的前提下，用较少的维度来表示原来的数据结构。
因此，本文采用因子分析法来求解。
先进行因子提取，然后用较少个数的公共因子的线性函数和特定因子之和来表达原有观测的每个变量，再从研究相关矩阵内部的依赖关系出发，把一些具有错综复杂的变量归纳为少数几个综合因子。
2.2对于问题二的分析问题二，是分析哪个因素对旅游景点环境的管理作用最有效，类似于问题一，因此也采取因子分析法来求解。
先构造出封山育林、水土保持、规划调节、严格管制、游客教育这几个因子变量，接着用spss软件进行因子分析并降维，然后通过旋转使因子变量更具有可解释行，最后计算因子变量得分。
2.3对于问题三的分析问题三，是论证如何采取有效措施保护旅游景点的生态环境。
这是较为复杂、较为模糊的决策问题，并且难于定量分析，因此本文建立层次分析法来求解。
先将问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型，第一层为总目标，采取有效措施保护旅游景点的生态环境；第二层为准则层，最底层为方案层。
然后建立判断矩阵，并用Matble 软件求出同一层次上的权系数和各准则的最大特征值。
最后得出结论。
三、模型假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些位置因素的干扰，提出以下几点假设：1、游客对旅游景点的评价及建议具有公正性；2、收回的275份有效问卷具有代表性，是真实有效的；3、旅游景点的环境只受问卷中因素的影响；4、对旅游景点的管理只考虑问卷中的方法；5、构造判断矩阵时本着客观公正的态度；四、符号说明五、模型的建立与求解经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。
5.1问题一模型的建立与求解5.1.1模型的准备通过收回的275份问卷调查可知，影响旅游景点环境的因素有：超负荷的接待量、过多的人工建筑、游客的不文明行为、房地产商的威胁、汽车尾气及噪音。
要从这些因子中找出对旅游景点环境影响最大的因子，需要对这些因子做因子分析。
其主要目的也是对数据进行浓缩。
通过对诸多变量的相关性研究，来表示原来变量的主要信息。
因子分析是根据相关性大小把原始变量进行分组，使得同组内的变量之间相关性高，而不同组的变量之间的相关性低。
设有p个指标，则因子分析数学模型为：11111221221122221122p p p pp p p pp p X r Y r Y r Y X r Y r Y r Y X r Y r Y r Y=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 其中，12,,,p X X X 是已标准化的可观测的评价指标。
12,,,k F F F 出现在每个指标i X 的表达式中，称为公共因子，公共因子是不可观测的，其含义要根据具体问题来解释。
i ε是各个对应指标i X 所特有的因子，故称为特殊因子，它与公共因子之间彼此独立。
ij r 是指标i X 在公共因子j F 上的系数，称为因子载荷，因子载荷ij r 的统计含义是指标i X 在公共因子j F 上的相关系数，表示i X 与j F 线性相关程度。
5.1.2考察原有变量是否适合进行因子分析利用spss 软件进行分析。
表一是原有变量的相关矩阵，可看到大部分的相关数据都较高，各变量呈较强的线性关系。
所以原有变量适合进行因子分析。
5.1.3构造因子变量与提取因子根据原有变量的相关数据矩阵，采用主成分分析方法。
先构造出因子变量，用矩阵形式表示为：X AF ε=+其中12(,,,)p X X X X '=，12(,,,)k F F F F '=，12(,,,)p εεεε'=，111212122212m m p p pm r r r r r r A r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A 称为因子载荷矩阵。
其统计含义是：A 中的第i 行元素12,,,i i im r r r 说明了指标i X 依赖于各个公共因子的程度。
A 中第j 列元素12,,,j j mj r r r 说明了公共因子j F 与各个指标的联系程度。
故常根据该列绝对值较大的因子载荷所对应的指标来解释这个公共因子的实际意义。
A 中的第i 行元素12,,,i i im r r r 的平方和221mi ij j h r ==∑称为指标i X 的共同度。
A 中第j 列元素12,,,j j mj r r r 的平方和221pj ij i g r ==∑表示公共因子j F 对原始指标所提供的方差贡献的总和，衡量各个公共因子的相对重要性。
称211p jj ij i g r p p α===∑为公共因子j F 的方差贡献率，j α越大，公共因子j F 越重要。
接着提取因子并指定提取3个因子，其分析结果见表2。
表二可以看出所有变量的共同度都为1，即各变量的信息都被反映。
说明本次因子提取效果是理想的。
5.1.4因子分析和旋转矩阵公因子和原有变量之间的关联程度是由因子载荷值表示的。
因子载荷值越高，表明该因子包含该指标的信息越多。
表3表示对因子成分的分析；表四是旋转成分矩阵，利用旋转使得因子变量更具有可解释性。
因子分析解释的总方差与碎石图见附录I 。
设从相关矩阵出发求解主成分，设有p 个变量，则可以找出p 个主成分，将所得的p 个主成分由大到小排列，记为12,,,p Y Y Y ，则主成分与原始变量之间有11111221221122221122p p p pp p p pp p Y r X r X r X Y r X r X r X Y r X r X r X=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 其中ij r 是随机变量X 的相关矩阵的特征值所对应的特征向量的分量，特征向量之间正交，从X 到Y 的转换关系的可逆得到由Y 到X 的转换关系11111221221122221122p pp pp p p pp p X r Y r Y r Y X r Y r Y r Y X r Y r Y r Y=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 所以得到旋转矩阵，见表4，通过旋转矩图，进一步反应各成分的比。
见附录Ⅰ。
5.1.5计算因子变量得分因子得分（score factor ）是每个因子在每个样本上的具体取值，它由下列因子得分函数给出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=p kp k k k pp p p x b x b x b f x b x b x b f x b x b x b f 22112222121212121111 再次利用spss 软件得到成分得分系数矩阵所以对旅游景点环境影响最大的是房地产开发商的威胁。
5.2问题二模型的建立与求解5.2.1模型的准备问题二与问题一的处理方法类似。
通过收回的275份问卷调查可知，比较有效的管理旅游景点的生态环境问题的措施有：封山育林、水土保持、规划调节、严格管制、游客教育。
同样用因子分析法进行求解。
5.2.2考察原有变量是否适合进行因子分析利用spss软件进行分析。
表6是原有变量的相关矩阵，可看到大部分的相关数据都较高，各变量呈较强的线性关系。
所以原有变量适合进行因子分析。
5.2.3构造因子变量与提取因子根据原有变量的相关数据矩阵，采用主成分分析方法，提取因子并指定提取3个因子，其分析结果见表7。
表七可以看出所有变量的共同度都为1，即各变量的信息都被反映。
说明本次因子提取效果是理想的。
5.2.4因子分析和旋转矩阵公因子和原有变量之间的关联程度是由因子载荷值表示的。
因子载荷值越高，表明该因子包含该指标的信息越多。
表8表示对因子成分的分析。
因子分析解释的总方差与碎石图见附录II。
表9是旋转成分矩阵，利用旋转使得因子变量更具有可解释性。
通过旋转矩图，进一步反应各成分的比重。
见附录Ⅱ。
5.2.5计算因子变量得分再利用spss软件得到成分得分系数矩阵。
所以，对旅游景点环境的管理作用最有效是封山育林。
5.3问题三模型的建立与求解 5.3.1明确问题，提出总目标根据已有信息建立了一个层次结构模型：第一层为总目标，采取最有效措施保护旅游景点的生态环境。
第二层为准则层，准则层分为下列三个方面，第一超负荷的接待量；第二过多的人工建筑；第三游客的不文明行为；第四房地产开发的威胁；第五汽车尾气及噪音。
最低层为方案层，第一、封山育林；第二、水土保持；第三、规划调节；第四、严格管制；第五、游客教育。
结构层次如下：5.3.2构造出各层次中的所有判断矩阵由spss 可知5B 的影响小，所以不考虑5B 的影响，因此建立了如下的判断矩阵：1121221112165432165256215614321B B B B B B B B A准则层：113132631651122131612153143316121221511543211C C C C C C C C C C B1313263153213313161213153143315131221311543212C C C C C C C C C C B1377714441111111115314714137141271411543213C C C C C C C C C C B1116136621331111116121543136131261311543214C C C C C C C C C C B5.3.3层次单排序及一致性检验 5.3.3.1计算一致性指标CI1max --=n nCI λ5.3.3.2查找相应的平均随机一致性指标RI 对9,,1 =n ，Saaty 给出了RI 的值，如下表所示：RI的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵：随机地从9~1及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征值的平均值max 'λ，并定义1'max --=n n RI λ5.3.3.3计算一致性比例CRRICI CR =经Matlab 软件验证，可知：1.00015.01<=CR 一致性检验通过权向量2189.01=w1907.0 3997.0 1907.01.00094.021<=CR 一致性检验通过5.3.4总排序及一致性检验同样的，经过Matlab 软件可知：权向量1231.021=w0719.0 5223.0 2108.0 0719.0 0333.022=CR 权向量1676.022=w0828.0 4680.0 2216.0 0600.01.00079.023<=CR 0688.023=w 0688.0 0688.0 2496.0 5438.01.00059.024<=CR 0822.024=w 0822.0 2111.0 5352.0 0892.0层次总排序及一致性检验：1021.0_=sum w0747.0 2714.0 2903.0 2616.01.00127.0<=CR所以，层次总排序及一致性检验也是满意的。