2009年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009?辽宁）已知集合M={x|﹣2＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，则M∪N=（）A．{x|x＜﹣5或x＞﹣2} B．{x|﹣5＜x＜5} C．{x|﹣2＜x＜5} D．{x|x＜﹣3或x＞5}【考点】并集及其运算．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：在数轴上画出集合M={x|﹣2＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，如图：则M∪N={x|x＜﹣5或x＞﹣2}．故选A．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常考的题型．，那么=（2i）（5分）（2009?辽宁）已知复数z=1﹣2．．D ．．BC．A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分母实数化，然后化简即可．= 【解答】解：故选D．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．）d=（，a为等差数列，且﹣2a=﹣1a=0，则公差{a（．3（5分）2009?辽宁）已知}374n D ．B．﹣C2．．﹣A2【考点】等差数列．【专题】计算题；方程思想．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a，d的方程组，求解即可．1【解答】解：设等差数列{a}的首项为a，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件1n得，即，，﹣d=解得．故选B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．+2|=（|）2，0），|20094．（5分）（?辽宁）|=1平面向量，与的夹角为60°则，=（．C．4 BD．A12．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．【解答】解：由已知|a|=2，222 cos60°+4=12，b+4b+4a?=4+4×2×1×|a+2b|=a|a+2b|=∴．故选：B．根据和的模两【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，它的边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，可负、可以为零，其符号由夹角的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、余弦值确定．纬线长和赤道长的辽宁）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60°．（5分）（2009?5 ）比值为（0.25 0.5 D．0.8 B．0.75 C．A．【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题．°纬圆半径，求出纬线长，再求赤道长，即可．【分析】先求北纬60=R 纬线圆的半径为Rcos60°【解答】解：设地球半径为R，则北纬60°而圆周长之比等于半径之比，故北纬60°纬线长和赤道长的比值为0.5．故选C．【点评】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．=；当x＜4时f（4，则f（x）x）x（6．（5分）2009?辽宁）已知函数f（x）满足：≥=（）（=f（x+1），则f2+log3）2AD．B．C．．【考点】对数的运算性质．【分析】根据3＜2+log3＜4知，符合x＜4时的解析式，故f（2+log3）=f（3+log3），又222有3+log3＞4知，符合x＞4的解析式，代入即得答案．2【解答】解：∵3＜2+log3＜4，所以f（2+log3）=f（3+log3）222且3+log3＞42∴f（2+log3）=f（3+log ）322．=故选A．【点评】本题主要考查已知分段函数的解析式求函数值的问题．7．（5分）（2009?辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）222222A．（x+1）+（y﹣1）=2 B．（x﹣1）+（y+1）=2 C．（x﹣1）+（y﹣1）=222 D．（x+1）+（y+1）=2【考点】圆的标准方程．【分析】圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．【解答】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；的距离是；﹣y=0 1A中圆心（﹣，1）到两直线x验证：．故A错误．﹣y﹣4=0 的距离是圆心（﹣1，1）到直线x故选B．【点评】一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．22）θ=（，则sinθ+sinθcosθ﹣2costan．8（5分）（2009?辽宁）已知θ=2．﹣．﹣BD．CA．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题．2222【分析】利用sinθ+cosθ=1，令原式除以sinθ+cosθ，从而把原式转化成关于tanθ的式子，把tanθ=2代入即可．22【解答】解：sinθ+sinθcosθ﹣2cosθ===．=故选D．22【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换应用．本题利用了sinθ+cosθ=1巧妙的完成弦切互化．9．（5分）（2009?辽宁）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD ）的概率为（1的距离大于O内随机取一点，取到的点到．．DC ．AB．．【考点】几何概型．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为﹣P==1因此取到的点到O的距离大于1的概率故选B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P= 求解．，其…a，a?分）（2009辽宁）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据，a5．10（N12那V，和月净盈利该店用下边的程序框图计算月总收入中收入记为正数，支出记为负数．S ）么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（．A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知S表示月收入，T 表示月支出，V表示月盈利，根据收入记为正数，支出记为负数，故条件语句的判断框中的条件为判断累加量A的符号，由分支结构的“是”与“否”分支不难给出答案，累加完毕退出循环后，要输出月收入S，和月盈利V，故在输出前要计算月盈利V，根据收入、支出与盈利的关系，不难得到答案．【解答】解析：月总收入为S，支出T为负数，因此A＞0时应累加到月收入S，故判断框内填：A＞0又∵月盈利V=月收入S﹣月支出T，但月支出用负数表示因此月盈利V=S+T故处理框中应填：V=S+T故选A＞0，V=S+T【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．11．（5分）（2009?辽宁）下列4个命题p：?x∈（0，1），㏒x＞㏒x1/321/2㏒x 1/2㏒x1/3．其中的真命题是（）A．p，p B．p，p C．p，p D．p，p 42411332【考点】命题的真假判断与应用；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．【专题】压轴题．【分析】本题的考查意图是指数函数和对数函数的单调性，但作为选择题来讲，此类题采用特殊值法更好．x=，则㏒x=1，㏒x=log2＜1，p【解答】解：取正确．21/21/33x正确．p1，而㏒x∈（0＞，）时，1（）＜x当41/3．故选D不易出错相当于实践特点是快捷、实用，【点评】特殊值法是解决选择题的常用解法之一，验证．）12x﹣∞）单调增加，则满足f（?辽宁）已知偶函数f（x）在区间[0，+12．（5分）（2009）取值范围是（（）的x＜f．，[（），A．）（，）B．D[，）C．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】分析法；函数的性质及应用．y∞）单调增加可得出此函数先减后增，以[0，+【分析】由题设条件偶函数f （x）在区间轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可）=f（|x|x（x）是偶函数，故f（）【解答】解析：∵f||（）|2x﹣1|）＜f（﹣1）=f|2x﹣1|），即f（∴f（2x又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加＜．x＜，解得﹣得|2x1|＜故选A．【点评】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题）＜的x2x﹣1取）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（的区别：已知函数f（x值范围是（）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009?辽宁）在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC．已知点A（﹣2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为（0，﹣2）．【考点】相等向量与相反向量．【分析】由四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，和三个点的坐标，可以先设出点的坐标，根据两条对角线交于一点，用中点坐标公式得到结果．【解答】解：设D（x，y），中点相同BD与AC∵．∴﹣2+8=6+x，∴x=0又0+6=8+y，y=﹣2∴D=（0，﹣2），故答案为：（0，﹣2）．【点评】向量首尾相连，构成封闭图形，则四个向量的和是零向量，用题目给出的三个点的坐标，再设出要求的坐标，写出首尾相连的四个向量的坐标，让四个向量相加结果是零向量，解出设的坐标．14．（5分）（2009?辽宁）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，则ω=．【考点】三角函数的周期性及其求法；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】数形结合．【分析】根据所给的图形，看出四分之一个周期的值，得到最小正周期，根据周期的计算公式，得到要求的值，本题主要考查读图问题，从图形中看出需要的结果．=）（﹣【解答】解：∵由图象可得最小正周期4T==∴ω．=故答案为：．【点评】根据所给的图形，看出四分之一个周期的值，得到最小正周期，根据周期的计算公式，得到要求的值，本题主要考查读图问题，从图形中看出需要的结果．=在x=1处取极值，则a=3．）分）．（5（2009?辽宁）若函数f（x 15【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题．【分析】先求出f′（x），因为x=1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，代入求出a即可．．=（x）=′【解答】解：f ）在1处取极值，f因为（x x）=0的根，（f1所以是′代入得将x=1a=3．3故答案为【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力．16．（5分）（2009?辽宁）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的3体积为4m．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可．【解答】解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于×2×4×3=4故答案为：4【点评】本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2009?辽宁）等比数列{a}的前n项和为S，已知S，S，S成等差数列，23n1n（1）求{a}的公比q；n（2）求a﹣a=3，求S．n13【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．22．2q+q=0 ，从而q+aq+a）=2（a+aq），由此可知（（Ⅰ）由题意知【分析】a+a111111，从而=4（Ⅱ）由已知可得，故a1．2【解答】解：（Ⅰ）依题意有a+（a+aq）=2（a+aq+aq）1111112由于a≠0，故2q+q=0 1，从而0≠q又．（Ⅱ）由已知可得=4故a1从而【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．18．（12分）（2009?辽宁）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外，≈2.449）≈1.414．（计算结果精确到哪两点间距离相等，然后求B，D的距离0.01 km ，【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；应用题．【分析】在△ACD中，∠DAC=30°推断出CD=AC，同时根据CB是△CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在△ABC中利用余弦定理求得AB答案可得．【解答】解：在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA、=，ABC中，在△2，sin15°=15sin°，可得=，即AB==．≈因此，BD=0.33km故B、D的距离约为0.33km．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查学生分析问题解决问题的能力．综合运用基础知识的能力．19．（12分）（2009?辽宁）如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【考点】直线与平面所成的角；反证法与放缩法．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）（解法一）由面面垂直的性质定理，取CD的中点G，连接MG，NG，再证出∠MNG是所求的角，在△MNG中求解；（解法二）由垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面DCEF的法向量，再用向量的数量积求解；（2）由题意假设共面，由AB∥CD推出AB∥平面DCEF，再推出AB∥EN，由得到EN∥EF，即推出矛盾，故假设不成立；【解答】解：（1）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG．设正方形ABCD，DCEF的边长为2，NG=．MG=2，则MG⊥CD，∵平面ABCD⊥平面DCED，∴MG⊥平面DCEF，∴∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．所成角的正弦值DCEF与平面MN为∵MN=MNG=∠sin，∴= 解法二：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图．，可得=（﹣1，1，﹣2，1，0））．2则M（1，0，），N（0=（0，0，又∵2）为平面DCEF 的法向量，（cos=?，）∴cos?与平面DCEF所成角的正弦值为MN∴（2）假设直线ME与BN共面，则AB?平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，∴AB?平面DCEF．又∵AB∥CD，∴AB∥平面DCEF．∵面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴AB∥EN．又∵AB∥CD∥EF，∴EN∥EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．【点评】本题考查了线面角的求法，可有面面垂直的性质定理用两种方法来求解；还考查了用反证法证明，用了线线平行与线面平行的相互转化来推出矛盾，考查了推理论证能力和逻辑思维能力．20．（12分）（2009?辽宁）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：甲厂乙厂）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；1（．（2）由于以上统计数据填下面2×2（3）列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．乙厂合计甲厂优质品非优质品合计附：．【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；图表型．【分析】本题考查的知识点是独立性检验的应用，（1）要求两个分厂生产的零件的优质品率，我们可以根据已知中的表格中的数据，及规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品，我们及计算出两个分厂生产的零件的优质品率；（2）按照分层抽样中，样本中的比例与总体中的比例一致，易得表中各项数据的值，然后我们可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为；件优质品，乙厂抽查的产品中有320从而乙厂生产的零件的优质品率估计为（Ⅱ）甲厂乙厂合计360 320 680 优质品140 180 320 非优质品500 500 1000 合计≈7.35＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”【点评】独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式值，k，计算出然后代入离散系数表，比较即可得到答案．x2x处的切线与x）在x=1ax+x+1），且曲线y=f（（12分）（2009?辽宁）设f（x）=e（21．轴平行．（x）的单调性；）求（1a的值，并讨论f．）证明：当（2【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】压轴题．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，然后根据在x=1处的导数值等于其切线的斜率可求a 的值，然后当f'（x）＜0时可求函数的单调递减区间，当f'（x）＞0时可求函数的单调递增区间．∈[0，1]，x，]单调增，求出最大值和最小值，故根据任意x（2）先确定函数f（x）在[0，121有|f（x）﹣f（x）|≤e﹣1＜2，将cosθ、sinθ代入即可得到答案．21x2【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=e（ax+x+1+2ax+1）．由条件知，f'（1）=0，故a+3+2a=0?a=﹣1．x2x于是f'（x）=e（﹣x﹣x+2）=﹣e（x+2）（x﹣1）．故当x∈（﹣∞，﹣2）或（1，+∞）时，f'（x）＜0；当x∈（﹣2，1）时，f'（x）＞0．从而f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）单调减少，在（﹣2，1）单调增加．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]单调增加，故f（x）在[0，1]的最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1．∈[0，1]，有|f（x）﹣f（x）|≤ex从而对任意，x﹣1＜2．2112而当时，cosθ，sinθ∈[0，1]．从而|f（cosθ）﹣f（sinθ）|＜2【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0过点辽宁）分）22．（12（2009?已知，椭圆C）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．，可设椭圆方程代入已知条件得，由此b（Ⅰ）由题意，【分析】c=1，求出能够求出椭圆方程．，代入方程为：（Ⅱ）设直线AE得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程为，2（舍去），解得b=3所以椭圆方程为．方程为：AE （Ⅱ）设直线，得代入设E（x，y），F（x，y），FEEF因为点在椭圆上，，，所以由韦达定理得：，．所以又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，，，可得K在上式中以﹣K代的斜率EF 所以直线的斜率为定值，其值为．EF即直线【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．。