例题：利用MLE方法估计下列两个方程： 1.price=b0+b1*weight+b2*length+ε 2.price=b0+b1*weight+b2*length+b3*mpg+ε 利用wald检验和LR检验验证：b3=0
sysuse auto,clear ml model lf myprog (price = weight length) (sigma:) ml max est store r0 ml model lf myprog (price = weight length mpg) (sigma:) ml max est store r1
异方差的检验与FGLS
异方差是违背了球型扰动项假设的一种情形。 在存在异方差的情况下： （1）OLS 估计量依然是无偏、一致且渐近 正态的。 （2）估计量方差Var(b|X) 的表达式不再是 σ2(X’X)−1，因为Var(ε|X) ≠σ2I。 （3）Gauss-Markov 定理不再成立，即OLS 不再是最佳线性无偏估计（BLUE）。
参数约束检验的三大方法： Wald检验 似然比检验（LR） 拉格朗日乘数检验（LM） 注意： 1。参数约束检验不仅用于MLE中，同时可以用在其 他计量方法中。 2。由于LM检验在后面的计量模型中广泛使用，检验 过程与模型设定密切相关，因此stata没有提供单纯 使用LM进行检验的命令，只能通过手动计算的方法， 因此，在此我们重点关注前两种检验。
Stata上机实验
大样本OLS
大样本OLS经常采用稳健标准差估计(robust) 稳健标准差是指其标准差对于模型中可能存 在的异方差或自相关问题不敏感，基于稳健 标准差计算的稳健t统计量仍然渐进分布t分布。 因此，在Stata中利用robust选项可以得到异 方差稳健估计量。
Nerlove（1963）的一篇著名文章
我们可以利用矩阵运算的方法将回归结果展 现的所有统计量都手动计算出来。 大家有兴趣回去做一遍，可以加深你对这些 知识的理解。
逐步回归法
逐步回归法分为逐步剔除和逐步加入。 逐步剔除又分为逐步剔除(Backward selection)和逐步分层剔除 (Backward hierarchical selection) 1。逐步剔除 stepwise, pr(显著性水平): 回归方程 例如：对auto数据 Stepwise,pr(0.05):reg price mpg rep78 headroom trunk weight length turn displacement gear_ratio foreign 2。逐个分层剔除 Stepwise,pr(0.05) hier:reg price mpg rep78 headroom trunk weight length turn displacement gear_ratio foreign 去掉foreign 重新做一遍
3。BP 检验：做完回归后，使用命令： estat hettest ,normal（使用拟合值yˆ ） estat hettest,rhs （使用方程右边的解释变量，而不 是yˆ ） estat hettest [varlist] （指定使用某些解释变量） 最初的BP 检验假设扰动项服从正态分布，有一 定局限性。Koenker（1981）将此假定放松为iid， 在实际中较多采用，其命令为： estat hettest, iid estat hettest, rhs iid estat hettest [varlist],iid
异方差的处理
1。使用“异方差稳健标准差”（robust standard error）：这是最简单，也是目前比较流行的方法。 只要样本容量较大，即使在异方差的情况下，只要 使用稳健标准差，则所有参数估计、假设检验均可 照常进行。 2。FGLS。由于广义最小二乘法与加权最小二乘法 的一个缺点是假设扰动项的协方差矩阵为已知。这 常常是一个不现实的假定。因此，现代计量经济学 多使用“可行广义最小二乘法”（FGLS）。
2。还可以将变量转换为矩阵 mkmat 变量名表，mat(矩阵名) 练习：sysuse auto reg price mpg weight foreign 要求：利用矩阵运算手动计算出参数
gen cons = 1 mkmat price, mat(y) mkmat mpg weight foreign cons, mat(X) mat b = inv(X'*X)*X'*y mat list b （还可以看一下矩阵x与y的值）
为了检验美国电力行业是否存在规模经济， Nerlove（1963）收集了1955年145家美国电 力企业的总成本(TC)、产量(Q)、工资率(PL)、 燃料价格(PF)及资本租赁价格(PK)的数据 （nerlove.dta）。假设第个企业的生产函数 为Cobb-Douglas：
Qi = Ai Li Ki Fi
逐步加入又分为逐步加入(Forward selection)和逐步分层加 入(Forward hierarchical selection) 1。逐步加入 stepwise, pe(显著性水平): 回归方程 例如：对auto数据 Stepwise,pe(0.05):reg price mpg rep78 headroom trunk weight length turn displacement gear_ratio foreign 2。逐个分层加入 Stepwise,pe(0.05) hier:reg price mpg rep78 headroom trunk weight length turn displacement gear_ratio foreign
α1
α2
α3
其中分别为生产率、劳动力、资本与燃料。 记为规模效应（degree of returns to scale）。 假设企业追求成本最小化，可证明其成本函 数也为Cobb-Douglas：
TCi = δiQ (PL)i (PK)i (PF)i
r r
1 r i
α1
α2
α3
r
其中是的函数。取对数 后得到如下模型。
约束回归
例一：use production，clear cons def 1 lnl+lnk = 1 cnsreg lny lnl lnk, c(1) 例二：use nerlove,clear
cons def 1 lnpl+lnpk+lnpf=1 . cons def 2 lnq=1 . cnsreg lntc lnq lnpl lnpk lnpf, c(1-2)
矩阵运算
1。手动建立矩阵命令：matrix Matrix input 矩阵变量名=（矩阵） 同一行元素用，分隔 不同行元素用\分割 建立矩阵 ： 3 6 8 5 11 7 2 18 16
显示矩阵变量 mat dir 显示矩阵内容 Mat list 矩阵变量
常用矩阵运算： C=A+B A-B A*B Kronecker乘积 ：C=A#B 常用矩阵函数： trace(m1) m1的迹 Diag(v1) 向量的对角矩阵 inv(m1) m1的逆矩阵
异方差的检验
1。残差图 2。怀特检验 3。Breusch-Pagan（BP）检验 4。 G-Q 检验 (Goldfeld-Quandt,1965) 5。 Szroeter's 秩检验(Szreter,1978) 后两种现在已经基本不用。
一般截面数据容易产生异方差 而时间序列数据容易产生自相关
1。残差图： rvfplot （residual-versus-fitted plot） rvpplot varname （residual-versus-predictor plot） 作图命令一定要在回归完成之后进行 2。怀特检验：做完回归后，使用命令： estat imtest, white
分别使用普通OLS和稳健的标准差OLS进行 估计。 结果可以看到：稳健标准差与普通标准差的 估计的系数相同，但标准差和t值存在着较大 的差别，尤其是lnq的标准差。
约束回归
定义约束条件 constraint define n 条件 约束回归语句 Cnsreg 被解释变量 解释变量, constraints(条 件编号)
例二： use production,clear ml model lf myprog (lny= lnk lnl)(sigma:) ml max 例三：附加约束的MLE cons def 1 lnk + lnl = 1 ml model lf myprog (lny= lnk lnl)(sigma:),constraint(1) ml max
我们举一个最简单的多元线形回归的例子， 更复杂的例子我们将在“stata编程”部分介 绍。 假设x_i 服从均值为mu, 标准差为prog.ado 执行MLE: 例一： sysuse auto,clear ml model lf myprog (price= weight length foreign)(sigma:) ml max 和OLS比较：reg price weight length foreign 回归系数完全相同
wald检验：test mpg (Prob > chi2 =0.2878) LR检验： lrtest r0 r1 (Prob > chi2 =0.2896) 均接受原假设 所以 b3=0 成立 自己联系：将方程2改为： price=b0+b1*weight+b2*length+b3*mpg+b4 *foreign+ε 检验： b3=b4=0
例一
使用WLS对nerlove.dta的无约束回归方程重 新进行估计。假设 log σi2 = δ ln qi + ui ˆ （无截距项）。检验是否存在异方差，如果 存在则使用FGLS方法进行回归。 检验结果存在异方差，需要利用FGLS加以消 除。