2020-2021学年第一学期期末测试人教版九年级数学试题一、单项选择题（每小题3分，共30分）1. 已知x ＝3是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0的根，则该方程的另一个根是（ ）A. 3B. ﹣3C. 1D. ﹣12. 下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.3. 抛物线23(1)2y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-，平移的方法是( )A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位4. 若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是( ) A. 15 B. 25 C. 35 D. 455. 用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数{}22min 1,1y x x =+-，则y 的图象为( )A. B. C.D.6. 如图，在⊙O 中，弦AB 为8mm ，圆心O 到AB 的距离为3mm ，则⊙O 的半径等于（ ）A. 3mmB. 4mmC. 5mmD. 8mm7. 如图，四边形ABCD 内接于O ，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（ ）A. 128°B. 100°C. 64°D. 32°8. 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，以点B 为圆心的圆与AD 、DC 相切，与AB 、CB 的延长线分别相交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为（ ）A 32πB. 3πC. 32πD. 232π9. 二次函数y=a （x+k ）2+k ，无论k 为何实数，其图象的顶点都在（ ）A. 直线y=x 上B. 直线y=﹣x 上C. x 轴上D. y 轴上10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax +b 和二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象可能为（ ）A. B. C. D.二、填空题（每空3分，共21分）11. 点A （a ，3）与点B （﹣4，b ）关于原点对称，则a +b ＝_____．12. 设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2 021＝0的两个实数根,则m 2＋3m ＋n ＝______.13. 若一个圆锥的底面圆半径为3cm ，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是______ 14. 若函数y ＝(a －1)x 2－4x ＋2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为_____．15. 如图，BD 为正方形ABCD 的对角线，BE 平分∠DBC ，交DC 与点E ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF ，若CE ＝1 cm ，则BF ＝__________cm .16. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ．则下列结论：①abc ＜0；②244b ac a -＞0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝c a -．其中正确结论的个数是______个．17. （2016广东省茂名市）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点B 顺时针旋转到△A 1BO 1的位置，使点A 的对应点A 1落在直线3y x =上，再将△A 1BO 1绕点A 1顺时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线33y x =上，依次进行下去…，若点A 的坐标是（0，1），点B 3，1），则点A8的横坐标是__________．三、解答题（满分69分）18. 解方程：(1)x2+3＝4x(2)3x（x-3）＝-419. 为进一步普及足球知识，传播足球文化，某市在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：（1）获得一等奖的学生有人；（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D 四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．20. 如图，AD是⊙O的弦，AC是⊙O直径，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，∠DAC＝30°．（1）求证：△ADB是等腰三角形；（2）若BC3AD的长．21. 某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量(t件)与每件的销售价(x元/件)之间有如下关系：()208002040t x x =-+≤≤()1请写出该超市销售这种产品每天的销售利润(y 元)与x 之间的函数关系式，并求出超市能获取的最大利润是多少元．()2若超市想获取1500元的利润求每件的销售价．()3若超市想获取的利润不低于1500元，请求出每件的销售价X 的范围？22. 在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，且点 M 不与 B 、C 重合，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ ，连接BP ，DQ ．（1）依题意补全图 1；（2）①连接 DP ，若点 P ，Q ，D 恰好在同一条直线上，求证：DP 2+DQ 2=2AB 2；②若点 P ，Q ，C 恰好在同一条直线上，则 BP 与 AB 的数量关系为： ．23. 如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，求抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于A 、B 两点．（1）若直线y=mx+n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为该抛物线对称轴x=﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．（提示：若平面直角坐标系内有两点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则线段PQ 的长度221212()()x x y y -+-）．答案与解析一、单项选择题（每小题3分，共30分）1. 已知x ＝3是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0的根，则该方程的另一个根是（ ）A. 3B. ﹣3C. 1D. ﹣1 【答案】D【解析】【分析】设方程的另一根为t ,根据根与系数的关系得到3＋t ＝2,然后解关于t 的一次方程即可.【详解】设方程的另一根为t ,根据题意得3＋t ＝2,解得t ＝﹣1.即方程的另一根为﹣1.所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查了根与系数的关系:12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=00a ≠的两根时, 12b x x a +=-,12c x x a=. 2. 下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B.C.D.【答案】B【解析】 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形；B ．是轴对称图形，也是中心对称图形；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B ． 点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．3. 抛物线23(1)2y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-，平移的方法是( )A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位【答案】D【解析】∵抛物线y=-3（x+1）2-2的顶点坐标为（-1，-2），平移后抛物线y=-3x 2的顶点坐标为（0，0），∴平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移2个单位．故选D ．4. 若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是( ) A. 15 B. 25 C. 35 D. 45【答案】C【解析】试题解析：这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率=35． 故选C ．考点：1.概率公式；2.中心对称图形．5. 用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数{}22min 1,1y x x =+-，则y 的图象为( )A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题.【详解】根据题意，min{x2+1，1-x2}表示x2+1与1-x2中的最小数，不论x取何值，都有x2+1≥1-x2，所以y=1-x2；可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；则函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y轴的交点坐标为（0，1）．故选C．【点睛】考核知识点：二次函数的性质.6. 如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（）A. 3mmB. 4mmC. 5mmD. 8mm【答案】C【解析】【分析】连接OA，根据垂径定理，求出AD，根据勾股定理计算即可．【详解】连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=12AB=4，由勾股定理得，OA=22AD OD +=5，故选C ．【点睛】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．7. 如图，四边形ABCD 内接于O ，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（ ）A. 128°B. 100°C. 64°D. 32°【答案】A【解析】 【详解】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A=∠DCE=64°， ∴∠BOD=2∠A=128°. 故选A.8.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，以点B 为圆心的圆与AD 、DC 相切，与AB 、CB 的延长线分别相交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为（ ）A 32πB. 3πC. 32πD. 232π【答案】A【解析】【详解】解：设AD 与圆的切点为G ，连接BG ，∴BG⊥AD，∵∠A=60°，BG⊥AD，∴∠ABG=30°，在直角△ABG中，BG=32AB=32×2=3，AG=1，∴圆B的半径为3，∴S△ABG=1132⨯⨯=32，在菱形ABCD中，∵∠A=60°，则∠ABC=120°，∴∠EBF=120°，∴S阴影=2（S△ABG ﹣S扇形ABG）+S扇形FBE=23303120(3)2()360ππ⨯⨯-+=32π+．故选A．考点：1．扇形面积的计算；2．菱形的性质；3．切线的性质；4．综合题．9. 二次函数y=a（x+k）2+k，无论k为何实数，其图象的顶点都在（）A. 直线y=x上B. 直线y=﹣x上C. x轴上D. y轴上【答案】B【解析】试题分析：根据函数解析式可得：函数的顶点坐标为（-k，k），则顶点在直线y=-x上.考点：二次函数的顶点10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可先由二次函数y=ax 2+bx+c 图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b 的图象相比较看是否一致．【详解】A 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣2b a＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确； B 、由抛物线可知，a ＞0，由直线可知，a ＜0，故本选项错误；C 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣2b a＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误； D 、由抛物线可知，a ＞0，由直线可知，a ＜0，故本选项错误．故选A ．二、填空题（每空3分，共21分）11. 点A （a ，3）与点B （﹣4，b ）关于原点对称，则a +b ＝_____．【答案】1.【解析】试题分析：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则a=4，b=-3，从而得出a+b ．试题解析：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴a=4且b=-3，∴a+b=1．考点：关于原点对称的点的坐标．12. 设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2 021＝0的两个实数根,则m 2＋3m ＋n ＝______.【答案】2019.【解析】【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m 2+2m=2021、m+n=-2，将其代入m 2+3m+n 中即可求出结论．【详解】∵m，n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，∴m2+2m=2021，m+n=-2，∴m2+3m+n=m2+2m+（m+n）=2019+（-2）=2019．故答案为2019．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m=2019、m+n=-2是解题的关键．13. 若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是______【答案】9cm【解析】【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．【详解】解：设母线长为l，则120180l=2π×3，解得：l=9 cm．故答案为：9 cm．【点睛】本题考查圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．【答案】－1或2或1【解析】【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得．【详解】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0，解得：a1=-1，a2=2，当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1.故答案为-1或2或1.15. 如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1 cm，则BF＝__________cm.【答案】2+2【解析】【详解】过点E作EM⊥BD于点M,如图所示：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°，∠BCD=90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM=EC=1cm，∴DE=2EM=2cm.由旋转的性质可知：CF=CE=1cm，∴BF=BC+CF=CE+DE+CF=1+2+1=2+2cm.故答案为2+2.16. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②244b aca-＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝ca-．其中正确结论的个数是______个．【答案】3 【解析】【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2−4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA＝OC可得到A（−c，0），再把A（−c，0）代入y＝ax2＋bx＋c得ac2−bc＋c＝0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA＝−x1，OB＝x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2＝ca，于是OA•OB＝ca-，则可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2−4ac＞0，而a＜0，∴244b aca-＜0，所以②错误；∵C（0，c），OA＝OC，∴A（−c，0），把A（−c，0）代入y＝ax2＋bx＋c得ac2−bc＋c＝0，∴ac−b＋1＝0，所以③正确；设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根，∴x1•x2＝ca，∴OA•OB＝ca-，所以④正确．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．17. （2016广东省茂名市）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线33y x=上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线33y x=上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（3，1），则点A8的横坐标是__________．【答案】636+．【解析】试题分析：由题意点A2的横坐标（+1），点A4的横坐标3（+1），点A6的横坐标（+1），点A8的横坐标6（+1）．考点：（1）坐标与图形变化-旋转；（2）一次函数图象与几何变换三、解答题（满分69分）18. 解方程：(1)x2+3＝4x(2)3x（x-3）＝-4【答案】（1）x1＝3，x2＝1；（2）x1＝9+33，x2＝933-．【解析】【分析】(1)根据因式分解法即可求解；(2)根据公式法即可求解．【详解】（1）称项得：x2-4x+3＝0∵（x-3）（x-1）=0∴x-3=0，x-1=0∴x1＝3，x2＝1（2）整理得：3x2-9x+4=0∵a＝3，b＝﹣9，c＝4∴△＝b2﹣4a c＝（﹣9）2﹣4×3×4＝33＞0∴方程有两个不相等的实数根为x＝933 23±⨯x1＝9+336，x2＝9336-．【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知解解法．19. 为进一步普及足球知识，传播足球文化，某市在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：（1）获得一等奖的学生有人；（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D 四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．【答案】（1）30；（2）表见解析，1 6【解析】【分析】（1）根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的百分比即可求得一等奖的学生数；（2）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【详解】解：（1）∵三等奖所在扇形的圆心角为90°，∴三等奖所占的百分比为25%，∵三等奖为50人，∴总人数为50÷25%=200人，∴一等奖的学生人数为200×（1-20%-25%-40%）=30人；故答案是：30.（2）列如下表：从表中可以看到总的有12种情况，而A、B分到一组的情况有2 种，故恰好选到A、B两所学校的概率为21126P==．【点睛】本题考查了用画树状图或列表的方法求概率，解题的关键是通过列表或画树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解.也考查了扇形统计图的有关知识.20. 如图，AD是⊙O的弦，AC是⊙O直径，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，∠DAC＝30°．（1）求证：△ADB是等腰三角形；（2）若BC＝3，求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）AD＝3．【解析】【分析】（1）根据切线的性质和等腰三角形的判定证明即可；（2）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：连接OD，∵∠DAC＝30°，AO=OD ∴∠ADO＝∠DAC＝30°，∠DOC＝60°∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD，即∠ODB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DAC＝∠B，∴DA＝DB，即△ADB是等腰三角形．（2）解：连接DC∵∠DAC＝∠B＝30°，∴∠DOC＝60°，∵OD＝OC，∴△DOC是等边三角形∵⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，∴BC ＝DC ＝OC∴AD 3==．【点睛】本题考查切线的判定和性质，解题的关键是根据切线的性质和等腰三角形的判定，以及勾股定理进行解题．21. 某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量(t 件)与每件的销售价(x 元/件)之间有如下关系：()208002040t x x =-+≤≤()1请写出该超市销售这种产品每天的销售利润(y 元)与x 之间的函数关系式，并求出超市能获取的最大利润是多少元．()2若超市想获取1500元的利润求每件的销售价．()3若超市想获取的利润不低于1500元，请求出每件的销售价X 的范围？【答案】(1)220120016000y x x =-+-,2000; (2) 每件的销售价为35元和25元;(3) 2535x <<.【解析】【分析】(1)根据利润=单件利润×销售量列出y 与x 的函数关系式，利用对称轴求函数最大值；(2)令y=1500构造一元二次方程；(3)由(2)结合二次函数图象观察图象可解.【详解】(1)由已知()()()220202080020120016000y x t x x x x =-=--+=-+- 当()1200302220b x a =-=-=⨯-时，()()302020308002000y =--⨯+=最大 ()2当2150020120016000x x =-+-解得135x =，225x =所以每件的销售价为35元和25元．()3由()2结合函数图象可知超市想获取的利润不低于1500元，x 的取值范围为: 25<x<35.【点睛】本题考查了二次函数实际应用问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一元二次方程，解答()3时注意结合函数图象解决问题．22. 在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，且点 M 不与 B 、C 重合，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图1；（2）①连接DP，若点P，Q，D 恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；②若点P，Q，C 恰好在同一条直线上，则BP 与AB 的数量关系为：．【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②BP=AB．【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）①连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解决问题；②结论：BP=AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；【详解】（1）解：补全图形如图1：（2）①证明：连接BD，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQ=AP，∠QAP=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠1=∠2．∴△ADQ≌△ABP，∴DQ=BP，∠Q=∠3，∵在Rt△QAP 中，∠Q+∠QPA=90°，∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，∵在Rt△BPD 中，DP2+BP2=BD2，又∵DQ=BP，BD2=2AB2，∴DP2+DQ2=2AB2．②解：结论：BP=AB．理由：如图3 中，连接AC，延长CD 到N，使得DN=CD，连接AN，QN．∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，∵∠AQP=45°，∴∠NQC=90°，∵CD=DN，∴DQ=CD=DN=AB，∴PB=AB．【点睛】本题考查正方形性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴23. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，求抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．（1）若直线y=mx+n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为该抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．（提示：若平面直角坐标系内有两点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则线段PQ 的长度221212()()x x y y -+-）．【答案】（1）y=x+3；y=﹣x 2﹣2x+3；（2）M 的坐标是（﹣1，2）；（3）P 的坐标是（﹣1，3172）或（﹣1317-）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）． 【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求出直线BC 和抛物线的解析式；（2）设直线BC 与对称轴x ＝−1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小．把x ＝−1代入直线y ＝x ＋3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （−1，t ），又因为B （−3，0），C （0，3），所以可得BC 2＝18，PB 2＝（−1＋3）2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝（−1）2＋（t−3）2＝t 2−6t ＋10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．【详解】（1）A （1，0）关于x=﹣1的对称点是（﹣3，0），则B 的坐标是（﹣3，0）根据题意得：303m n n -+=⎧⎨=⎩ 解得13m n =⎧⎨=⎩则直线的解析式是y=x+3；根据题意得：解得：9303a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩则抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x+3（2）设直线BC与对称轴x＝−1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝−1代入直线y＝x＋3得，y＝−1＋3＝2，∴M（−1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（−1，2）；（3）如图，设P（−1，t），又∵B（−3，0），C（0，3），∴BC2＝18，PB2＝（−1＋3）2＋t2＝4＋t2，PC2＝（−1）2＋（t−3）2＝t2−6t＋10，①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2即：18＋4＋t2＝t2−6t＋10解之得：t＝−2；②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2即：18＋t2−6t＋10＝4＋t2解之得：t＝4，③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2即：4＋t2＋t2−6t＋10＝18解之得：t1＝317+，t2＝317-；∴P的坐标是（﹣1，317+）或（﹣1，317-）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式，利用轴对称性质确定线段的最小长度，两点间的距离公式的运用，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。