x
(-∞,-2)
-2 0
28 极大值 3
(-2,2)
2 0 极小值
4 3
(2,+∞)
f ( x)
f ( x)
↗ 28 ∴当x=－2时，y有极大值且y极大值= 3 4
当x=2时，y有极小值且y极小值=
+ ↗
－
+
↘
3
练习. 求函数 f ( x) = x e 的极值
2 2 x x 解: f ' ( x ) = x e '
函数的极值与函数的导数有怎样的关系呢？
a
x1
x2
x3
x4
b
(1)可导函数在极值点处的导数均为0
极值是一个局部概念 (2)函数在极值点附近两侧导数异号 极值 不唯一,极值点一定在区间内部 极大值不一定比极小值大
2.极值的判定
(1) (2) (3)
y
f ( x ) 由正变负,那么 x0是极大值点; f ( x ) 由负变正,那么 x0是极小值点; f ( x ) 不变号,那么 x0 不是极值点。
C
)
A.函数在闭区间上的极大值一定比
2:下列函数中，x=0是极值点的函数 是(
B
)
2 B.y=x
3 A.y=－x
C.y=x2－x
D.y=1/x
3.求函数 的极值.
3 2 y=x -x -5x+1
4.求函数y=x2ex的极值.
五、课堂小结
求函数f(x)的极值的步骤: (1)求定义域和导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根； (3)列表:判断f ′(x)在上述根的左右 两侧的符号,确定极大值与极小值.
(4)结论
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
3 例4 求函数 f ( x ) = x x 的极值. 2
2 3
解
（1）求定义域： (,.
1 3
令 f ( x) = 0, 得驻点 x = 1. 当 x = 0 时，导数不存在.
（3）列表讨论：
x f ( x )
f ( x)
(, 0)
0
（ 0， 1 ）
1
(1, )
+
↗
不存在 极大值0
－ ↘
0
极小值
1 2
+ ↗
y
3 y = x 2
2 x3
O
1
1
2
x
极大值与极小值
2 x
令 f ( x) = 0 列表如下：
解得：x1=0,x2=2
x (-∞,0)
f ( x)
'
－
f(x)
↓
(0,2) + 极小值 ↑ f(0)
0 0
(2,+∞) － 极大值 ↓ f(2) 2 0
e
所以，函数f(x)的极小值为f(0)=0 4 函数f(x)的极大值为f(2)= 2
例3.函数y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有
∵
1 ∴ a cos cos(3 ) = 0 a 1 = 0 3 3 2
f '( ) = 0 3

，

∴a=2.
②已知函数f ( x) = x ax 3 x 9 在x=－3
3 2
5 时取得极值, 则实数a=______. 变：已知函数 f ( x) = x 3a x 3ax
3 2 2
在x=1时取得极值, 则实数a=______.
错解：由 f ( x) = x3 3a 2 x 2 3ax 2 2 有 f ( x) = 3 x 6a x 3a 又f(x)在x=1时取极值， 所以 f (1) = 3 6a 2 3a = 0 得a=1或a=-1/2．

f′(x)≥0对x∈（a,b）恒成立. 若f(x)在（a,b）上递减 f′(x)≤0对x∈（a,b）恒成立.
函数的极大值与极小值
a
x1
x2
x3
x4
b
一、函数的极值定义
y
y
使函数取得极值的 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
设函数f(x)在点x0附近有定义， •如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； •如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； ◆函数的极大值与极小值统称为极值.
设函数f ( x )在x0 及其附近有定义， 如果对x0附近的所有点x，都有f ( x ) f ( x0 ) 则称f ( x0 )是函数f ( x )的一个 极大值 称x0是函数f ( x )的一个 极大值点
如果对x0附近的所有点x，都有f ( x ) f ( x0 ) 则称f ( x0 )是函数f ( x )的一个
正解：(接上) 2 2 当a=1时， f ( x) = 3 x 6 x 3 = 3( x 1) 0 f(x)在R上单调递增，不合题意；
3 3 1 f ( x ) = 3 x x = 3( x 1)( x ) 当a=-1/2时， 2 2 1 2
2
由 f ( x ) = 0 得 x = 2 或 x = 1 ， 列表如下：
极小值
称x0是函数f ( x )的一个 极小值点
函数的极值
一、知识回顾：
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可 导，则函数在该区间上 如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导, 则 f′(x)＞0 是f(x)在(a,b)上递增的____条件.
充分不必要
若f(x)在(a,b)上递增
y
注：若f（x）可导，则f′(x0)=0是x0为
y = f ( x )
极值点的 必要不充分条件
a
x1 x2
b
x3
O
x
（三）、例题分析
２ 例１：求f（x）＝x －x－２的极值.
解：
1 f ( x) = 2 x 1, 令f ( x) = 0, 解得x = .列表 2
x
f ( x) f ( x)
1 练习、函数 f ( x) = a sin x sin 3x 在 3 处具有极值，求a的值 x= 3
分析：f(x)在 x = 必要条件可知， f

3
'(
处有极值，根据一点是极值点的

3 ) = 0可求出a的值.
1 解： f '( x) = (a sin x sin 3x) ' = a cos x cos 3 x 3
y
y





x0 o x 左正右负极大
o x x0 左负右正极小
x0 o x 左右同号无极值
练习：（天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)， 导函数f’(x)在(a,b)内的图象如图所示， 则函数f(x)在开区间(a,b)内极值点有（ C ） 极小值点有（ A ） A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
极值，(1)求a、b的值． (2)求出极值并指出是极大值还是极小值
解：
a y ' = (a ln x bx x) ' = 2bx 1 x
2
由题意,在x=1和x=2处,导数为0
∴
2 a= a 2b 1 = 0 3 a 1 4b 1 = 0 b= 2 6
x
f ( x ) f ( x)
1 ( , ) 2
1 2
1 ( ,1) 2
1 0
极小值
(1, )
+
0
极大值
－
+



在x=1时取极小值，符合题意． 综上a=-1/2．
四、课堂练习
1、下列说法正确的是( 极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是 极大值 C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|＜ 6 ， 则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值
(4)结论
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
1 3 例２：求 y = x 4 x 4 的极值 1 3 3 2
3 令y′=0，解得x1=－2，x2=2
解： y ' = ( x 4 x 4) ' = x 4 = ( x 2)( x 2)
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
1 ( , ) 2

1 2
1 极小值f ( ) 2
0
1 ( ,) 2

1 1 9 因此,当x = 时, f(x)有极小值f( ) = . 2 2 4
求函数f(x)的极值的步骤:
(1)求定义域和导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根； (3)列表:判断f ′(x)在上述根的左右 两侧的符号,确定极大值与极小值.