二次函数与四边形
一．二次函数与四边形的形状
例 1.（浙江义乌市）如图，抛物线y = x2-2x-3与 x 轴交A、B两点（A点在 B 点左侧），直线l 与抛物线交于 A、C两点，其中 C 点的横坐标为 2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P 是线段AC上的一个动点，过P点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段PE 长度的最大值；A
（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
例 1.解：（1）令y=0，解得x =-1或x = 3 ∴A（-1，0）B（3，0）；
将 C 点的横坐标x=2 代入y = x2- 2x - 3得y=-3，∴ C（2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1
（2）设P 点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1），
E（（x, x -2x -3）∵P 点在E 点的上方，PE= （-x -1）- （x - 2x - 3）= - x + x + 2
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∴当x= 1时，PE的最大值= 9
3)存在4 个这样的点 F，分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+ 7，0),F4(4- 7,0)
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练习1.（河南省实验区） 23．如图，对称轴为直线x = 7的抛物线经过点
A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当平行四边形OEAF 的面积为24 时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E x=
A(6,0) x
2）∵点E（x, y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
∴y<0，即－y>0,－y 表示点 E 到 OA 的距离．∵OA 是Y OEAF的对角线，
∴S = 2S V OAE =2OA y =-6y =-4（- ）+25．因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的取值范围是 1<x<6．
① 根据题意，当S = 24时，即-4（x - 7）2+25=24．
71 化简，得（x-7）2=1. 解之，得x1= 3,x2= 4.
故所求的点 E 有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．点E1（3，－4）满足 OE = AE，所以Y OEAF是菱形；点E2（4，－4）不满足 OE = AE，所以Y OEAF不是菱形．
②当OA⊥EF，且OA = EF 时，Y OEAF是正方形，此时点E 的
坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（ 3 ，－3 ）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E ，使Y OEAF为正方形
x 练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点 A （1，0）和B （5，0）的抛物线l 1的顶点为
抛物线l 2的函数关系式为y = （x -3）2 - 4（或y = x 2 -6x + 5 ）．
（2）Q P 与P 始终关于x 轴对称， PP 与 y 轴平行．
设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为m 2-6m +5，Q OD =4，2m 2-6m +5 =4，即 m 2-6m +5=
2 ．当m 2-6m +5=2 时，解得 m =36．当m 2-6m +5=-2 时，解得 m =
3 2 ．当点P 运动到（3 - 6，2）
或（3 + 6，2）或（3-2，-2）或（3+2，-2）时， P P ∥OD ，以点D ，O ，P ，P 为顶点的四边形是平行四边形．
3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在l 2上，则
AMB =90o ，Q
BAM = 30o （或 ABM = 30o ），
BM = 1AB = 1
4=2． 22 过点M 作ME ⊥ AB 于点E ，可得BME = BAM =30o ．
EB = BM = 2= 1， EM = 3 ， OE = 4 ． 22
C （3，4），抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，顶点为C ．
点M的坐标为（4，- 3）．
但是，当x=4时，y=42-64+5=16-24+5=-3- 3．
不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．
练习 3.（山西卷）如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是
A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）．
（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；
（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，
D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为
S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、
向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒 2 个单位的速度沿坚
直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形
MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值
范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此
最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此
时t的值；若不能，请说明理由．
练习3. ［解］（1）点A（-4，0），点B（-2，0），点E（0，8）关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），F（0，-8）．设抛物线C2的解析式是
16a + 4b + c = 0，a =-1，
y = ax2+ bx + c (a0) ，
则 4 a + 2b + c = 0，解得b = 6，
c =-8．c =-8．
所以所求抛物线的解析式是y=-x2+6x-8．
（2）由（1）可计算得点M（-3，-1），N（3，1）．
过点N作NH⊥AD，垂足为H．当运动到时刻t时，AD=2OD=8-2t，NH =1+2t．
根据中心对称的性质OA= OD，OM =ON，所以四边形MDNA是平行四边形．
所以S = 2S△ADN．所以，四边形MDNA的面积S =（8-2t）（1+2t）=-4t2+14t+8．因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知0 ≤t 4 ．
所以，所求关系式是S = -4t2+14t +8 ，t的取值范围是0 ≤t 4 ．
（3）S = -4t - 7 + 81，（0 ≤t 4 ）．
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7 81
所以t = 7时，S有最大值81．
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提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．
由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，所以当AD= MN时四边形MDNA 是矩形．
所以OD=ON．所以OD2=ON2=OH2+NH2．
所以t2+4t2-2=0．解之得t= 6-2，t=- 6 - 2 （舍）．
所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t =6-2．［点评］本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。