习题
6.1设计能检测分组中所有1、3、5、7位错误图样的（n，k）奇偶校验码。求出n和k的值。如果信道码元错误概率是10-2，试求不能检测分组错误的概率。
解：
6.2计算将12位数据序列编码为（24，12）线性分组码后的错误概率。假定码本能够纠正所有的1位、2位错误图样，而不能纠正所有2位以上的错误图样。同时，假定信道码元错误概率为10-3。
6.25将信源发送的信息组成36bit长的消息，使用非相关检测BFSK调制，经由AWGN信道传输。
（a）如果不采用差错控制编码，计算使错误概率为10-3时需要的Eb/N0。
（b）如果在传输中使用（127，36）线性分组码（最小距离为31），对于信息错误概率为10-3，计算编码增益（提示：编码增益定义为编码前后所需Eb/N0的差）。
(a)
所以不能
所以不能
所以不能
(b)
n=5时：
不能生成循环
n=6时：
这样的码可以产生循环，此时n=6，n-k=4,所以（n,k）=(6,2)
n=7时：
不能生成循环
（c） n-k=4,当k=1,2,3时，n=5,6,7
n=5时：
不能生成循环
n=6时：
这样的码可以产生循环,此时n=6，n-k=4,所以（n,k）=(6,2)
解：
6.3考虑一个能纠正3个错误的（127，92）线性分组码。
a）如果信道码元错误概率为10-3，对于未编码的92位信息，其消息错误概率是多少？
b）如果信道码元错误概率为10-3，对于使用（127，92）分组编码的信息，其消息错误概率是多少。
解：（a）
(b)
6.4假定采用相关BPSK解调，接收Eb/N0=10dB，计算使用（24，12）纠双错线性分组码，编码前后消息差错概率性能的改善。
（d）这种码的纠错能力如何？
（e）这种码的检错性能如何？
解：(a)
因此1101101不是有效码字。
6.9考虑一个系统分组码，其监督方程为
这里mi为信息位，而gi为监督位。
（a）求出这种码的生成矩阵和监督矩阵。
（b）这种码能纠正多少错误？
（c）10101010是合法码字吗？
（d）01011100是合法码字吗？
（a）设计此码的反馈寄存器编码器和译码器。
（b）通过列出寄存器的状态给出对信息矢量11001101011编码的步骤（最早出现的位在最右边）。
（c）对译码步骤重复（b）
解（a）：
（b）输入队列 移位序列 寄存器内容
1100110101100000
110011010111100
11001101021010
00001100110101 1 1000
0000110011010 2 1100
000011001101 3 0110
00001100110 4 1011
0000110011 5 1001
000011001 6 0000
00001100 7 1000
0000110 8 0100
000011 9 0010
1100110130101
110011040010
110011 50001
11001 60000
1100 71100
110 80110
11 90011
110 0001
-11 0000
因此，码字是000011001101011
6.22（c）：解码过程;
输入序列移位寄存器内容
000011001101011 0 0000
解：
因此10101010不是有效码字
因此01011100是有效码字
6.10某种线性分组码的码字定义如下
（a）给出生成矩阵。
（b）给出监督矩阵。
（c）求n，k和dmin。
解：
6.11设计一个（n，k）=（5，2）的线性分组码。
（a）选择码字使其具有系统码形式和最大的dmin。
（b）求出码字集的生成矩阵。
解：(1) (7,3)码：可能的接收矢量数： ，信息码个数： ，陪集个数： 。因此由16个陪集首可以不是完备的。
(2) (7,4)码：可能的接收矢量数： ，信息码个数： ，陪集个数： 。由8个陪集首只可以纠正所有的1bit错误。所以此码是完备的。
解：（a）(n,k)=(15,5); n-k=10
(b)
余项
+ =
所以码字CODEWORD=1110101011 10101
(c)测试：用g(x)去除v(x)，如果r(x)=0,v(x)即是一个码字。
由于r(x)≠0,V(x)不是一个码字
6.22考虑由g(X)=1+X+X4生成的（15，11）循环码。
6.24一个（63，36）BCH码可以纠正5个错。9个（7，4）分组码可以纠正9个错。两种码具有相同的编码效率。
（a）（7，4）码能纠正更多的错。它是否更强大？请解释。
（b）比较63比特中随机出现5个错时两种码的性能。
解：（a）（63,36）编码只能纠正动态错误，但在这63比特中误码可以以任何形式发生。
解：令 ；
k=3,n-k=4;
所以n=7;
(n,k)=(7,3)
为余项
余项
+ =
是奇偶项， 是消息项，相加之和是码字
6.19对生成多项式为g(X)=1+X+X2+X3的（8，5）循环码，设计一个反馈移位寄存器编码器。用此编码器找出信息10101的系统码。
解：
设计图如上所示
电路的操作步骤是：
输入序列
移位次数
00000
11111
00001
11110
00010
11101
00100
11011
01000
10111
10000
01111
00011
11100
00101
11010
01001
10110
10001
01110
00110
11001
01010
10101
10010
01101
01100
10011
10100
01011
图P6.1
解： ,
所以可以达到要求， 能够充分提供 。
6.21（15，5）循环码的生成多项式如下：
g(X)= 1+X+X2+X5+X8+X10
（a）画出该码的编码器框图。
（b）求出信息m(X)=1+X2+X4的码多项式（系统形式）
（c）V(X)=1+X4+X6+X8+X14是系统中的码多项式吗？并证明你的答案。
b）对Eb/N0=10dB时重新计算（a）。
解：(a)非相关BFSK的
对于 编码速率
因此
（b）
速率编码
这里有一个性能下降
这是由于 没有足够大，使编码不能够完全表现它的增益特性。在 取此值时，数字编码恰好处于临界过载状态。
6.6电话公司对它的一些数据信道使用“五个中取最佳”的编码方法。在该系统中，每个数据比特重复五次，而在接收端，选择五次中重复出现次数最多的值作为该数据比特。如果未编码时的比特错误概率为10-3，求使用此码译码后的比特错误概率。
（d）此码能纠正多少擦除？并给予解释。
解：（a）
(b) (15,11)码是完备码，只能纠正所有1bit错误
(c)
这里r不是一个码字。由陪集伴随式 得到陪集首000000010000000。因此，码字是011111011011011。
(d)
6.16一个非零错误图样可能产生一个全零的伴随式吗？如能，一个（n，k）码有多少错误图样能产生这个结果？用图6.11加以证明。
（7,4）编码能够纠正直至9个误码，但只有当他们每个码元时钟只出现一次才有用（这是不可能的）。因此，(7,4)编码几乎不能纠正像他显示的那样能纠正9个误码。
（b）（63,36）编码能纠正任何形式的包涵5个或5个以下的错误比特。为了解码成功，（7,4）编码要求每个时钟小于等于1个比特错误。
假设1个比特错误出现在任何一个时钟，那么第二个比特错误不出现在同一时钟的概率是8/9。假定那两个比特错误出现在不同的时钟，那么第三个比特错误不出现在这两个时钟的概率是7/9。5比特错误在不同的时钟的概率是 。因此，（7,4）编码只在1/4的时间里能够成功解码这样的错误。
00001 10 1001
0000 11 0000
000 12 0000
00 13 0000
0 14 0000
-- 15 0000
6.23对固定的信道码元错误概率，（15，11）汉明码的比特错误概率劣于（7，4）汉明码。请解释原因。那么（15，11）码有什么有点，这关系到哪些基本的权衡？
（15,11）的编码引进更少的冗余度，因此它有更好的容错能力；式（15,11）的编码，因为低冗余度而需要更小的带宽；跟踪是在所需的功率和带宽之间比较。
n=7时：
不能生成循环
(d) n-k=4,当k=1,2,3时，n=5,6,7
n=5时：
不能生成循环
n=6时：
不能生成循环
n=7时：
这样的码可以产生循环,此时n=7，n-k=4,所以（n,k）=(7,3)
(e) n-k=5,当k=1,2时，n=6,7
n=6时：
不能生成循环
n=7时：
不能生成循环
6.18将信息101用生成多项式g(X)=1+X+X2+X4使用多项式除法进行系统形式的编码。
解：如果在重复检测的接收中有3次是错误检测值，那么解码将会发生错误。
6.7给定线性分组码的最小码间距离是11，求其最大纠错能力，最大检错能力，以及最大纠正擦除能力。
解：