特殊情况坐标系的建立原则
zi zi-1
两个关节轴相交
xi
oi
yi
Oi— Ai与Ai+1关节轴线的交点
Zi— Ai+1轴线
Xi— Zi和Zi-1构成的面的法线
Ai+1
Yi— 右手定则
Ai
两个关节轴线平行
• 先建立
Ai-1
∑0i-1
• 然后建立 ∑0i+1
• 最后建立 ∑0i
Ai
Ai+1
Ai+2
yi-1 zi-1
Z
为横滚、俯仰和偏航角，这种形
式主要用于航空工程中分析飞行
横滚
器的运动，其旋转矩阵为（这种
方法也叫做横滚、俯仰和偏航角
表示方法）
俯仰
Y
R R（z,) R( y, ) R(x,)
c s 0 c 0 s 1 0 0
s
c
0
0
1
0
0 c
s
0 0 1 s 0 c 0 s c
cc sc
设：有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的
齐次变换为oTN，做微动，①绕任意轴w轴转 d ；②绕
各坐标轴平移dx,dy,dz On s
求： 0N 在 00 中的位置和姿态. Z0
a
n
• 定义 dTN 为微动齐次变换矩阵
（0 TN）变化后 Trans (dx, dy, dz)R(w, d )0TN
1
• di 是从第i-1坐标系
的原点到Zi－１轴和
Ｘi轴的交点沿Ｚi-1 Ai-1
轴测量的距离
• i 绕 Zi-1轴由Ｘi-1
轴转向Ｘi轴的关节
角
Ai
i
li
li1 di
i
坐标系的建立原则
Ai+
• 为右手坐标系
1
• 原点Oi：设在Li与
Ai+1轴线的交点上 • Zi轴：与Ai+1关节轴
Ai-1
Ai
q1
（1 T2）-1（0 T1）-1 0 T6 2 T3 3 T4 4 T5 5 T6 q2
(4 T5 )1(3 T4 )1(2 T3 )（1 1 T2）-1（0 T1）-1 0 T6 5 T6 q5
(5 T6 )-1 （0 T1）-1 0 T6 E q6
机器人末端操作器位姿的其它描述方法
y s
O
a
z
x n
nx sx ax px
实际要求 ny nz
sy sz
ay az
py pz
机T手爪
0
0
0
1
ox yz
z物
z机 y机
O机
x物 O物 y物
a : 手爪开合方向与物体 y向重合 有s [ 1 0 0]T
b : 从上向下抓，指出手爪 的a方向物体z方向相反 则有a [0 0 1]T
s
c
0
0
c
s
s
c
0
0 0 1 0 s c 0 0 1
cc scs sc ccs
ss
cs scc ss ccc
sc
ss
cs
c
x(u)
பைடு நூலகம்
z (w)
w"
W‫① ׳׳׳‬ ③ψ o
w′ v‫׳׳׳‬
φψ
θ
v" v′
φ
②ψ
y (v)
θ
φ
u" u‫׳׳׳‬ u′
类型2：所得的转动矩阵为右乘
rxrz(1 cosd ) rysin d
rxry (1 cosd ) rzsin d ry2 (1 cosd ) cosd ryrz (1 cosd ) rxsin d
rxrz(1 cosd ) rysin d
ry
rz
(1
cosd
)
rxsin
d
r2 (1 cosd ) cosd
1 rzd ryd 0
3种最常见的欧拉角类型
类型1 类型2 类型3
步1
绕OZ轴转φ角 绕OZ轴转φ角 绕OX轴转φ角
步2 绕当前OU' 轴转θ角 绕当前OV '轴转θ角
绕OY轴转θ角
步3
绕当前OW″轴转ψ角 绕当前OW″轴转ψ角
绕OZ轴转ψ角
类型1：表示法通常用于陀螺运动
0 TN R(Z,) R(, ) R(w,)
c s 0 1 0 0 c s 0
ox yz
z物
z机 y机
O机
x物 O物 y物
则有a [0 0 1]T
i j k
c : n s a 1 0
0
0i
j
0k
[0
1
0]T
0 0 1
0 1 0
因此：姿态矩阵为 1 0
0
0 0 -1
0 1 0 11
当手爪中心 与物体中心
机T物
1 0
0 0
0 10 -1 1
重合时
0
0
0
1
R R(Z , ) R(v, ) R(w,)
c s 0 c 0 s c s 0
s
c
0
0
1
0
s
c
0
0 0 1 - s 0 c 0 0 1
ccc ss scc cs
ss
ccs sc scs cc
sc
px
T
R
py
pz
0 0
0
1
cs
ss
c
X
偏航
类型3： 一般称此转动的欧拉角
重合，指向任意
i zi
yi
•
Xi轴：与公法线Li 重合，指向沿Li由
Ai轴线指向Ai+1轴线
• Yi轴：按右手定则
li
xi oi
li1 di
zi1 oi1
yi1
i
xi1
Li —沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至∑0i –1 坐标系原点的距离 θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
li-1
oi-1xi-1
di
A
C
zi oi di+1
B D
（yi） （yxiixil）i+1
zi+1 yi+1 oi+1xi+1
举例：Stanford机器人
解：
运动学逆问题解法
Paul 等人提出的方法:
• 用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵 方程的元素决定未知数，即用逆变换把一 个未知数由矩阵方程的右边移到左边
杆件坐标系间的变换过程 -相邻关节坐标系的齐次变换
• 将xi-1轴绕zi-1轴转i 角度，将其与xi轴平行； • 沿zi-1轴平移距离di ，使zi-1轴与zi轴重合； • 沿xi轴平移距离Li，使两坐标系原点及x轴重
合； • 绕xi 轴转i角度，两坐标系完全重合．
D-H变换矩阵
c os i
i1 Ai
0
0
0 1
因此微动率△= Transdx, dy, dzRw, d E
0 dz dy dx
dz
0 dx dy
dy dx 0 dz
0
0
0
0
微动的齐次变换：dT= △•T
0 1 0 7
己知变换矩阵 T 0 0 1 3
1 0 0 0
求d T
0 0 0 1
解：
转动：d 0.1i 0 j 0k, 平移：dp 0.3i 0 j 0.6k
s1 px c1 py d2
作三角变换：
式中：
得到： 即有：
（
）
由1, 4和2, 4元素对应相等，得：
1A211T6 2T6
式中第四列： 2 A312T6 3T6
式中第三列：
微动矩阵和微动齐次变换
• 对象: 微动矩阵主要是描述机器人在微动 范围内各关节的位移运动关系
• 定义: 各关节当角度移小于5°时，平移 在0.1mm左右时，微动矩阵大致可用
因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T
处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的 ∑O机根据T2画出
-Y，X，Z轴平行。
解2：
nx sx ax px
实际要求 ny nz
sy sz
ay az
py pz
机T手爪
0
0
0
1
a : 手爪开合方向与物体 y向重合 有s [ 1 0 0]T
b : 从上向下抓，指出手爪 的a方向物体z方向相反
有：机T物 机T摄 摄T物 （T2）-1T1
ox yz
1 0 0 10 0 1 0 1
0 -1 0 20 1 0 0 10 0 0 -1 10 0 0 -1 9
z物
0 0
0
1
0
0
0
1
0 1 0 11 -1 0 0 10
0 0 1 1
z机 y机
O机
x物 O物 y物
0
00
1
∑O物根据T1画出
1 0 0 0.31 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0.3
0 1 0
0 0
1
0.1 0 0 1 0 0 0
0
0.1
0
0 0 1 0.60 0.1 1 0 0 0 1 0 0 0.1 0 0.6
0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0
0
0 0 0 0.30 1 0 7 0 0 0 0.3