… …
1.414 <
2 < 1.5 2 < 1.415
逼 近 法
2 = 1.4142135623730950 …
无限不循环小数!
一般地，如果一个正数x 的平方等于a, 即 x2=a,那么这个正数x 叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 a 读作: “根号a”，a 叫做被开方数.
x a
16的 算 术 平 方 根 的 平 方 是 根 。 ± 2
正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
a的一个平方根是3，则另一个平方根 是 -3 ，a= 9 。 3a-22和2a-3是m的两个平方根， 试求m的值。
例：x为何值时，下列各式有 意义？
（ 1 ） 2x （ 2 ） x （ 3 ） x 1 （ 4 ） 1 x x
规定：0的算术平方根是0.
x
2
记作：0 0
a
1.双重非负性： 2.一个非负数的
a 0, a 0
2
( a) 算数平方根的平 方是它本身： 3.任何一个数的平方的算术平 方根等于这个数的绝对值.
______ a (a 0)
a a _____
2
•
如果一个数的平方等于9，这 个数是几？
学以致用
2. 当x为何值时,下列各式有意义? (1) x 1 ； (2) 2 3 x ；(3) x - 2 2 x
3 3. (1) ３的算术平方根是＿＿＿．
(2) 3 81 的算术平方根是＿＿＿． 算术平方根等于它本身． 0和1 ⑶＿＿＿ ⑷若 ⑸若
4 x 2 , 则 x _____ 6 3 x 3 ,则 x ____
如下图,是一个面积为4的正方形纸片.
(1)你能否利用此折出面积为1的小正方形? (2)你能折出面积为2的小正方形吗? (3)折出面积为2的小正方形的边长为多少?
2
2 有多大?
因为
2 ( ) 1 < 2 < 2 2 2
所以
1 <
2
2 < 2
2
因为 1.4 < ( 2 ) < 1.5 2 所以 1.4 <
2
例：已知 x y 4 x 2y 5 0，求x、y的值。
x y 4 0 解：由题意得 x 2y 5 0 x 3 解方程组得 y 1
我们已学习了3种非负数，即绝对值、 偶数次方、算术平方根。几个非负数 的和为零，它们就同时为零，然后转 化为方程（或方程组）来解。
探究：
（ 1 ）求 2 ， （ 3 ）， 5 ， （ 6 ）， 7 ，
2 2 2 2 2
0 的值，对于任意数 a， a ？
2 2
4 或 -2 练习： 1. （m 1 ） 3，则m 。
2
2 a≤2 ２ .若 （a 2 ） 2 a，则a的取值范围是 。
2 2 （ 3 ） 4 （ 2x 1 ） 25 0
补充练习；
1. 16的 算 术 平 方 根 是 ； 2 5 12 。 13
2 2
256 ２ .若 2x 5 4，则（ 2x 5 ） 。
2
≥0 时， ３ .当a 9a2的算术平方根为 3a。
6.1 平方根
—人人学有价值的数学； —人人都能获得必需的数学； —不同的人在数学上得到不同发展；
探索 & 交流 怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的 大正方形？
思考:你知道这个大正方形的边长是多少吗？
解：设这个大正方形的边长为x, 则 x2=2 x叫做2的算术平方根 2的算术平方根记做: 2 x
(6)若
3 x x 3 ,则
2
x3
学以致用
4.已知
x 2y 9 与
x y 3 互为相反
数,求xy的算术平方根．
5.如果一个正数的算术平方根为m，则比这个数大
２的数的算术平方根是____________ m 2
2
筛一筛，长能耐
• • • • • • • 判断： （1）5是25的算术平方根； (√ （2）-6是 36 的算术平方根； ( × （3）0的算术平方根是0； (√ （4）0.01是0.1的算术平方根； ( × （5）-5是-25的算术平方根； ( × （6）5的算术平方根是 5 。 (√
) ) ) ) ) )
拓展:已知
x y 4 | x 2 y 5 | 0求x，y的值．
解：根据题意得 x y 4 和 | x 2 y 5 | 均为非负数,
x y 4 | x 2 y 5 | 0
由非负数的性质得： x y 4=0 且 | x 2 y 5 | =0 x y 4 0 所以 x 2y 5 0 x 3 解方程组得， y 1
• 一个数的平方等于2呢？ • 想知道这个数的结果吗? • 我们来学习——平方根
一般地，如果一个数x的平方等于a， 那么这个数叫做a的平方根或二次方根。 即：若x2=a，那么x叫做a的平方根。 记作：x= a
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 1 4 9 开平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3
例：估计大小
15 3 1 ） 与 2 ） 140与12 （3 （ 1 ） 10与 （ 2 2
例：求 31的整数部分和小数部分 。
解：31的整数部分是 5
31的小数部分是 31 5
小数部分=原数-整数部分
思考： 7 7的整数部分与小数部分 。
练习：国际比赛的足球场的长在100m到 110m之间，宽在64m到75m之间，现有 一个长方形的足球场其长是宽的1.5倍， 面积为7560m2，问：这个足球场能用作 国际比赛吗？
x 1 2 2 （ 5 ） （ 6 ） x （ 7 ） x 1 （ 8 ） 2 x1 x
（ 9 ） x 2 4 2x
已知a、b满足： a 5 2 10 2a b 4，求a、b的值。
已知b a 6 3 18 3a 3，求a b的平方根。
（ 2 ）求（ 4 ） ，（ 9 ） ， （ 25 ） ， （ 49 ） ， （ 0 ）的 值 ， 对 于 任 意 非 负 a 数 ，（ a ） ？
2 2
2
2
2
2
若 （x 3 ） x 3 0， X≤0 则x的 取 值 范 围 是 。
2
计算各式中 x的 值 ： （ 1 ） 9x 2 256 0 （ 2 ） x 100 0
问题1、是否所有的的算术平方根都
是正数？
那么我这句话怎么改就正确了
规律一：所有的算术平方根 都是非负数
问题2、是否所有的有理数都有算术
平方根？
规律二、只有非负数才 有算术平方根
问题3、被开方数都是什么数？
规律三、被开方数要求 必须为非负数。
你能举出几个平方根的例子吗？
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
x a
规定：0的算术平方根是0.
x
2
记作：0 0
a
1.双重非负性： 2.一个非负数的
a 0, a 0
2
( a) 算数平方根的平 方是它本身： 3.任何一个数的平方的算术平 方根等于这个数的绝对值.
a (a 0) ______
a a _____
2
-5 此时a与b的关系为 。 互为相反数
５ .已 知 （ ｘ １ ） y 2 z 3 0
2
4. 5 a b的最大值为 ，
求x y z的 算 术 平 方 根 。
思考：
1.下列各式哪些有意义，哪些没 有意义？ （1）- 4 （2） 4 （3） 3 （4） 32
例 ： 求 下 列 各 数 的 平根 方， 9 2 （ 1 ） 100 （ 2 ） （ 3 ）（ 7 ） 16 （ 4 ） 13 12 （ 5 ）（ 25 ）
2 2 2
±6 36的 平 方 根 是 ； ４ 的平方根是 2；
2
3 5； （ 5 ）的 平 方 根 是 9的 算 术 平 方 根 是 ；
2
学以致用
1.下列式子表示什么含义？你能求出它们的值吗？ (1) (4)
0.81；
(2)
25
(5)
2
;
(3)
0
( 23)
；
2 ．
23
2

0.81 表示0.81 的算术平方根， 0.81 =0.9
(2) 25 表示25的算术平方根的相反数,
25
= -5
一般地，如果一个正数x 的平方等于a, 即 x2=a,那么这个正数x 叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 a 读作: “根号a”，a 叫做被开方数.