15.2.1《平方差公式》教学设计方案
秦皇岛市卢龙县卢龙教育局教研室郑淑杰
教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“15.2乘法公式”（第一课时）
教学目标：
知识与能力：
1、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算；
2、会用语言描述平方差公式内容；
3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想在解决问题的作用；
过程与方法：
让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力。
会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法的重要性.
情感态度目标
通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦.
教学重点：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算
教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算．
教材分析：
《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式.
学情分析
学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解．因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．教学过程
（一）创设情境快乐起航
从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没吃亏，你看如何？“郑老汉一听觉得好像没吃亏，就答应道：好吧！”回到家中，他把这事和他上高中的儿子一讲，儿子说：“咱们吃亏了.”张老汉非常吃惊，儿子怎么讲的，张老汉真的吃亏了吗？学完了本节课的知识，你会轻松的解决。
（二）自主探究，引出课题
问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
①（x ＋4)( x－4）
②（1 ＋2a)( 1－2a）
③（m＋6n)( m－6n）
④（5y ＋z)(5y－z）
【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式．（三）探索新知，尝试发现
问题２：依照以上四道题的计算回答下列问题：
①式子的左边具有什么共同特征？
②它们的结果有什么特征？
③能不能用字母表示你的发现？
师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：．师：你能通过计算（a+b）（a-b），说明猜想的合理性吗？
生：一生板演，其他同学在练习本上完成。
师：教师谈话通过我们计算验了合理性，这就是我们今天要探究的课题—《平方差公式》师：刚才同学们用符号语言表示了，谁能用文字语言叙述一下：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
【设计意图】我们经历了由发现——猜测——证明的过程，最后得出一个公式性的结论，我们将这个公式叫做平方差公式.鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力．
（四）剖析公式，揭示本质
师:在平方差公式中，其结构特征和优势
①左边是两个二项式相乘，其中“a 与a ”是相同项，“b 与-b ”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即；
②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a 和b ，明确公式中a 和b 的广泛含义，归纳得出：a 和b 可能代表数或式．
设计小练习 (1+x )(1-x )
(-3+a )(-3-a )
(0.3x -1)(1+0.3x )(1+a )(-1+a )
1、找一找、填一填
a b a 2-b 2
(a -b)(a+b)
【设计意图】通过观察
平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a 、b 的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．
（五）数形结合，几何说理
问题3：活动探究：将长为（a +b ），宽为（a －b ）的长方形，剪下宽为b 的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系．
活动过程：1、让学生以小组的形式动手操作，把已准备的正方形纸条，进行裁剪拼成一个长方形。
2、学生到前面说过程，并得出一个等式
3、教师在大屏幕上演示。
课件如下a b
a b
如图：在边长为a 的大正方形的一角剪去一个边长
为b 的小正方形。
（1）图中的红色部分部分面积是__________
22b a -（2）你能否将红色部分拼成一个完整的长方形图案吗？
))((b a b a -+你能从
这个游
戏中得
到一个
怎样的
等式？你拼出的长方形的面积是________________
【设计意图】通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．对于任意的a 、b ，由学生运用多项式乘法计算：
，验证了其公式的正确性．
（六）巩固运用，内化新知
问题5：判断下列算式能否运用平方差公式计算：
（1）（2x +3a ）（2x –3b ）； （2）
； （3）（－m +n ）（m －n ）； （4）； （5）； （6）．
【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．巩固平方差公式，进一步体会字母a 、b 可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解．
问题6：判断下列计算是否正确：
（1）（2a –3b ）（2a –3b ）=4a 2－9b 2 （ ）
（2）（x+2）（x – 2）=x2－2 （）
（3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4 （）
【设计意图】对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件．
问题7：计算：
（1）（2x +3）（3x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）；
解：（1）（2x + 3）（2x –3）=（2x）2－32 = 4x 2－9
（2）（b+2a）（2a－b）
=（2a）2－b2
=4a2－b2
【设计意图】解决操作层面问题．可提议用不同方法计算，以体现学生的创造性．（七）拓展深化，发展思维
问题8：计算：
（1）98×（－102）；（2）．
【设计意图】把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性；另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意不能用公式的仍按多项式乘法法则进行．
问题9：你会解决开始故事中张大爷第二年的土地吃亏了吗？吃亏了多少多少？
【设计意图】运用平方差公式解决实际问题，体现了数学来源于生活，服务于生活，学生感受到学习了有用的数学，设计此题与平方差公式的几何意义相吻合，加深学生对平方差公式的理解．
（八）小试牛刀，挑战自我
你敢挑战吗？每只羊后面都有一道
题，你想挑战哪一个？
1、 [x+(y+1)] [x-(y+1)]
2、(a+b+c) (a+b-c)
3、(a+b+c) (a-b+c) !
4、20082-2009×2007
5、（a-2)(a+2)(a 2 + 4) 【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式，由结果追溯算式中的相同项和相反项，关键在于理解公式结构特征，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫．第2个填空题有两种填法，属开放设计．目的是加强学生对公式结构特征的理解，同时也锻炼学生的发散思维．
（九）总结概括，自我评价
问题10：这节课你有哪些收获？还有什么困惑？学会了哪些数学方法？
【设计意图】从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识．
（十）课后作业
必做题：P156习题15.2 1
教学资源：中小学教育资源网 华夏资源库
信息技术应用：多媒体计算机 实物投影。