➢确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关 的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给 定的条件和微分方程一起给出。
3.2 草地水量模型
问题
草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪 的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停 之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空 气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程， 但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干， 能否建立一个数学模型描述这一干燥过程.
第三章 微分方程方法建模
3.1 微分方程建模 3.2 草地水量模型 3.3 传染病模型 3.4 食饵-捕食者模型
3.1 微分方程建模
微分方程模型属于动态模型
➢ 描述所研究对象特征随时间(空间)的演变过程 ➢ 分析所研究对象特征的变化规律 ➢ 预报所研究对象特征的未来性态 ➢ 研究控制所研究对象特征的手段
3.2 草地水量模型
问题陈述
➢草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约 持续c小时, 雨在草地中聚积了h厘米高的水;
➢雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减 少，最终自然变干，恢复比赛。
➢由此可将研究对象视为草地积单位面积的 水量Q, 它是时间t 的函数.
需要建立模型求出Q(t)，并能预测下雨 后多长时间t1 ，使Q(t1)=0。
微分方程建模方法
➢ 根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数 ➢ 根据建模目的和问题分析作出简化假设 ➢ 按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程
3.1 微分方程建模
3.1.1 人的体重 3.1.2 常微分方程建模基本准则
3.1.1 人的体重
问题 研究此人的体重随时间变化的规律
某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/ 公斤·天）乘以他的体重(公斤)。
输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收
净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天)
输出＝进行运健动身消耗训/天练＝＝时6594焦的29(/(公消焦斤/天耗·天) )×w(t)(公
斤)
导数意义的陈述
体重的变化/天＝净吸收量/天－运动消耗/天
3.1.1 人的体重
模型建立
连续函数w(t)的瞬时关系满足下面关系式
率”(在 放射性问题中)及“边际”(在经济学中)等；
➢ 模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法： 1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律， 对某些实际问题直接列出微分方程； 2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足 的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下 面的模式 改变率＝净变化率＝输入假设
1．开始时草地是干的,下雨时只考虑渗透排水,雨停 后水是通过渗透,蒸发排除的,其它因素不考虑。
2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑 空气中的湿度与温度；
3．降雨速度为常数。
3.2 草地水量模型
问题分析
开始时
下雨时
若草地是干的，即Q(0)=0。
r米/秒降雨速度
持续c小时
体重的变化/天＝ w(t t) w(t)(公斤/天) t
＝ w/ t（公斤/天）
将两单位换算成统一形式：
公斤/天＝ 焦/天 41868焦/公斤
3.1.1 人的体重
模型建立
由上述分析，体重w(t)满足下面关系式
w t(公 斤 /天 ） 5 4 2 9 （ 焦 4 1 /8 天 6 8 ） 焦 6 /公 9 w （ 斤 焦 /天 ） 两边的物理单位量纲一致，令
草地积了h厘米高的水量
草地水量的改变
水的流入量（降雨过程） 流出量（渗透过程）
停雨后 草地水量的改变 流出量(渗透、蒸发过程) 由此本模型应遵循下面的模式：
草地积水量的改变量＝流入量－流出量 （1）
3.2 草地水量模型
模型建立
A （平方米）: 草地的面积 a 单位时间内单位水量的渗透量 b 单位时间内单位水量的蒸发量
16
即 t , w 平 稳 11 36 00(公 斤 )81.25(公 斤 )
3.1.2 常微分方程建模基
本准则
常微分方程建模应符合下面基本准则：
➢翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数；
➢转化：在实际问题中, 有许多表示导数的常用词，如“速 率”, “增长率”(在生物学、人口学问题研究中), “衰变
3.1.2 常微分方程建模基
本准则
常微分方程建模应符合下面基本准则：
➢ 建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正 确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式， 建立起在自变量时段 t上的函数x(t)的增长量 x表达式
t 0 即得到 d x 的表达式
dt
➢单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；
130106w(t)(130 1w 0 6 0)ex1 pt6 (/10)000
w (t) 1 3 0 0 (1 3 0 0 1 6 w 0)e x p ( 1 6 t/1 0 0 0 0 ) 1 6 1 6
3.1.1 人的体重
模型解释
由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终
趋于一种平稳的值 1300 (公 斤 )
t,t t 时间内(1)式各量的描述:
草地积水量的改变量＝ Q(t)A
流入量－流出量
t 0
lim
t 0
dw130016w dt 10000
w(0) w0
3.1.1 人的体重
模型求解
dw(t) dt
130016w(t) 10000
分离变量法
d(16w(t)) 16dt 130016w(t) 10000
130016w(t) ln
16t
130016w(0) 10000
0到t
积分
1 3 0 0 1 6 w ( t ) 1 3 0 0 1 6 w ( 0 ) e x p ( 1 6 t/ 1 0 0 0 0 )
假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效， 而1公斤脂肪含热量41868焦。
3.1.1 人的体重
问题分析 体重w
时间t
函数w(t) , 连续可微
找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t)
“变化率”
“导数”
微元法
3.1.1 人的体重
进一步分析
由题意可知, “每天”体重变化应满足下面描述 体重的变化＝输入－输出