1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分15 分. 把答案填在题中横线上.)x 2(1) 设y(x e 2 ) 3 , 则y＿＿＿＿＿＿.x 0(2) 12 2(x 1 x ) dx ＿＿＿＿＿＿. 1(3) 微分方程y 2y5y 0 的通解为＿＿＿＿＿＿.(4)3 1lim x sin ln(1 ) sin ln(1 )xx x＿＿＿＿＿＿.(5) 由曲线1y x , x 2及y 2 所围图形的面积S ＿＿＿＿＿＿.x二、选择题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分15 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设当x 0时, e x (ax2 bx 1)是比x2 高阶的无穷小, 则( )(A)1a ,b 1 (B) a 1,b 12(C)1a ,b 1 (D) a 1,b 12(2) 设函数 f ( x) 在区间( , ) 内有定义, 若当x ( , )时, 恒有 2| f (x) | x , 则x 0 必是 f (x) 的( )(A) 间断点(B) 连续而不可导的点(C) 可导的点, 且 f (0) 0 (D) 可导的点, 且f (0) 0(3) 设f (x) 处处可导, 则( )(A) 当lim f (x) , 必有lim f ( x)x x(B) 当lim f (x) , 必有lim f (x)x x(C) 当lim f (x) , 必有lim f ( x)x x(D) 当lim f (x) , 必有lim f (x)x x1 1(4) 在区间( , ) 内, 方程| x | | x|cosx 0 ( )4 2(A) 无实根(B) 有且仅有一个实根(C) 有且仅有两个实根(D) 有无穷多个实根(5) 设f ( x), g( x) 在区间[ a, b] 上连续, 且g( x) f (x) m ( m 为常数), 由曲线y g(x),y f (x), x a 及x b 所围平面图形绕直线y m旋转而成的旋转体体积为( )b(A) 2m f (x) g(x) f (x) g(x) dxab(B) 2m f (x) g(x) f (x) g( x) dxab(C) m f (x) g(x) f (x) g( x) dxab(D) m f (x) g( x) f (x) g( x) dxa三、( 本题共 6 小题, 每小题 5 分, 满分30 分.)(1) 计算ln21 2 xe dx .(2) 求dx1 sin x.(3) 设t2x f (u ) du,2 2y [ f (t )] ,其中 f (u) 具有二阶导数, 且 f (u) 0, 求2d y2dx.(4) 求函数 f (x) 11xx在x 0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.(5) 求微分方程 2y y x 的通解.(6) 设有一正椭圆柱体, 其底面的长、短轴分别为2a、2b , 用过此柱体底面的短轴与底面成角( 0 ) 的平面截此柱体, 得一锲形体( 如图), 求此锲形体的体积V .2四、( 本题满分8 分)计算不定积分arctan x2 2x (1 x )dx .五、( 本题满分8 分)21 2x , x 1,设函数 3f (x) x , 1 x 2,12x 16, x 2.(1) 写出 f (x) 的反函数g( x) 的表达式；(2) g(x) 是否有间断点、不可导点, 若有, 指出这些点.六、( 本题满分8 分)设函数y y( x) 由方程2y3 2y2 2xy x2 1所确定, 试求y y( x) 的驻点, 并判别它是否为极值点.七、( 本题满分8 分)设f (x) 在区间[ a,b] 上具有二阶导数, 且 f (a) f (b) 0 , f (a) f (b) 0 , 试证明：存在(a,b) 和(a, b) , 使f ( ) 0及f ( ) 0 .八、( 本题满分8 分)设f (x) 为连续函数,(1) 求初值问题y ay f ( x),y 0x 0的解y( x) , 其中a为正的常数；kax(2) 若| f (x) | k ( k 为常数), 证明：当x 0 时, 有| ( ) | (1 )y x ea.1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分15 分.)(1) 【答案】13【解析】1x x2 13y x e e ,2 1 23 22 1 1y 1 .x 03 2 3(2) 【答案】 2【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质, 有原式1 12 2 2 2x 2x 1 x 1 x dx 2x 1 x 1 dx 0 2 2.1 1【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质：a若f (x) 在[ a, a] 上连续且为奇函数, 则 f ( x) dx 0；a若f (x) 在[ a, a] 上连续且为偶函数, 则a af ( x)dx 2 f ( x)dx.a 0(3) 【答案】xy e c1 cos2x c2 sin 2x【解析】因为y 2y 5y0 是常系数的线性齐次方程, 其特征方程r 2 2r 5 0 有一对共轭复根xr1,r2 1 2i. 故通解为y e c1 cos2 x c2 sin 2x .(4) 【答案】 2k k k【解析】因为x 时, sin ln 1 ln 1x x x( k 为常数), 所以,原式3 1 3 1lim xsin ln 1 lim xsin ln 1 lim x lim x 3 1 2 x x x xx x x x.(5) 【答案】ln 2 1 2【解析】曲线1y x ,xy 2 的交点是1,2 , y x21 x 12x x, 当x 1时y x 1( ) ,单调上升在上方于是y 2x2 1S x 2 dx1xy2y x1x21 12x ln x 2x ln 2 . 221O 1 2 x 二、选择题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分15 分.)超级狩猎者(1) 【答案】(A)【解析】方法1：用带皮亚诺余项泰勒公式. 由x2 1 eax bx2x2 21 x x ax bx 12!112 2 2b x a x x 令x ,2可得1 b 0,1a 0,21a ,b 1.应选(A).2方法2：用洛必达法则. 由x 2 xe (ax bx 1) e 2ax blim lim 0,洛2x 0 x 0x 2x有xlim e 2ax b 1 b 0 b 1.x 0又由x xe 2ax b e 2a 1 2a 1 lim lim 0 ax 0 x 02x 2 2 2.应选(A).(2) 【答案】(C)【解析】方法一：首先, 当x 0 时, | f (0) | 0 f (0) 0 .而按照可导定义我们考察2f (x) f (0) f (x) x0 x 0( x 0)x x x,由夹逼准则, ff (x) f (0)(0) lim 0x 0x, 故应选(C).方法二：显然, f (0) 0, 由| f (x) | x2, x ( , ) , 得f ( x)2x1, x ( ,0) (0, ) , 即f (x)2x有界, 且f (x) f (0) f (x)f (0) lim lim x 02.x x0 x 0 x故应选(C).方法三：排除法.令 3f (x) x , f (0) 0, 故(A) 、(B) 、(D) 均不对, 应选(C).超级狩猎者【相关知识点】定理：有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3) 【答案】(D)x 【解析】方法一：排除法. 例如 f ( x) x, 则(A),(C) 不对；又令 f (x) e , 则(B) 不对.故应选择(D).方法二：由lim f (x) , 对于M 0 , 存在x x , 使得当x x0 时, f (x) M .由此, 当x x 时, 由拉格朗日中值定理,f ( x) f (x ) f ( )(x x ) f (x ) M ( x x ) ( x ) ,0 0 0 0从而有lim f (x) , 故应选择(D).x【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数 f ( x) 满足(1) 在闭区间[a,b] 上连续；(2) 在开区间(a,b) 内可导,那么在(a, b) 内至少有一点( a b), 使等式f (b) f (a) f ( )(b a)成立.(4) 【答案】(C)1 1f (x) | x |4 | x|2 cosx , 则f ( x) f (x) , 故f (x) 是偶函数, 考察 f (x) 【解析】令在(0, )内的实数个数：1 1f ( x) x x cosx( x 0 ).4 2首先注意到 f (0) 1 0,1 1f ( ) ( ) ( ) 1 0, 当04 22 2 2x 时, 由零值定2理, 函数 f ( x) 必有零点, 且由3 11 14 2f (x) x x sin x 0,4 2f (x) 在(0, )2单调递增, 故 f (x) 有唯一零点.当x 时,1 11 1f ( x) x x cos x ( ) ( ) 1 0, 没有零点；2 4 2 4 22 2因此, f (x) 在(0, )有一个零点. 又由于 f (x) 是偶函数, f (x) 在( , ) 有两个零点.超级狩猎者故应选(C).【相关知识点】零点定理：设函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续, 且 f (a) 与 f (b) 异号( 即f (a) f (b) 0 ), 那么在开区间(a,b)内至少有一点, 使f ( ) 0 .(5) 【答案】(B)【解析】ymy f (x)y g(x)O ba x x dx x见上图, 作垂直分割, 相应于x,x dx 的小竖条的体积微元2 2 dV (m g (x))dx (m f ( x)) dx(m g( x)) (m f (x)) (m g( x)) (m f ( x)) dx2m g( x) f (x) f (x) g( x) dx,b于是V 2m g( x) f (x) f ( x) g(x) dx ,a故选择(B).三、( 本题共 6 小题, 每小题 5 分, 满分30 分.)(1) 【解析】方法一：换元法.令 1 2xe u, 则1 u2x ln(1 u ), dx du22 1 u,所以3 2 3 3x u 1 1 1 1ln2 21 2 2 ( 1) 2 ( 2)e dx du du du2 20 0 0 01 u 1 u2 1 u 1 u31 1 u23 3ln ln(2 3)2 1 u 2 2.方法二：换元法.x令sine t , 则cos tx ln sin t, dx dtsin t, x : 0 ln 2 t : ,2 6x cost 1 ln2 2 6 21 e dx cost dt sin t dt 0 sin t sint2 6超级狩猎者3ln(csct cot t) cost ln(2 3) .2 22 6 6方法三：分部积分法和换元法结合.原式ln2 ln 2x 2x 2x xe e 1dx e 1d( e )0 02x ln2 ln2ex 2x xe e 1 e dx0 2x0 e1令xe t , 则x :0ln 2 t :12 ,原式3 dt 3 222ln(t t 1)2 1 21 12t32ln(2 3).【相关知识点】 1.1csc xdx dx ln csc x cot x Csin x,2. a 0时,dx2 2x aln 2 2x x a C .(2) 【解析】方法一：dx (1 sin x)dx 1 sin xdx21 sin x (1 sin x )(1 sin x) cos x1 sin xdx d cos x2dx sec xdx2 2 2cos x cos x cos xtan1x Ccos x.方法二：dx dxx x21 sin (cos sin )2 2xx2d(1 tan )sec 2 2 2xdx Cx x x2 2(1 tan ) (1 tan ) 1 tan2 2 2.方法三：换元法.令tan x2t , 则2 2 tan t 2tx 2arctan t, dx ,sin x2 2 21 t 1 tan t 1 t,原式1 2 dt 2 2dt 2 C C2t 1 t (1 t) 1 t x2 21 1 tan21 t 2.(3) 【解析】这是由参数方程所确定的函数, 其导数为dy2 2dy dt 2 f (t ) f (t ) 2t tf t24 ( )dx2dx f (t )dt,超级狩猎者所以2d yd dy dt ddt1222()(4tf (t ))4 f (t ) 4tf (t ) 2t22dxdt dx dx dtdxf (t )42f (t )2 2 2 f (t ) 2t f (t ).(4) 【解析】函数 f ( x) 在 x 0 处带拉格朗日余项的泰勒展开式为( n)( n 1)f(0)f ( x)nn 1f (x) f (0) f (0) xxx ,(01)n!(n 1)!.对于函数f (x)1 1 x x , 有 21f (x) 1 2(1 x) 1,1 x2f (x) 2 ( 1)(1 x) ,3f (x) 2 ( 1) ( 2)(1 x) , , ,n nn( )( ) 2( 1) !(1) (1)fx nx 所以()(0) 2( 1) !, ( 1,2,3 ),nnfnn故n 11 x2x2nnn 1f (x)1 2x 2x ( 1) 2x ( 1)(01).n 11 x(1x)(5) 【解析】 方法一： 微分方程2y y x 对应的齐次方程 yy 0 的特征方程为2xrr , 两个根为 r 1 0, r 21, 故齐次方程的通解为 y c 1 c 2e .设非齐次方程的特解2Y x (axbx c) , 代入方程可以得到1 a ,b 1,c2 ,3因此方程通解为1x32y c c ex x 2x .123方法二： 方程可以写成2( y y )x , 积分得3xy yc , 这是一阶线性非齐次微分方3程, 可直接利用通解公式求解. 通解为3dx x dxy e ( ( c )e dx C)3超级狩猎者33x x x x 1 x xe ( ( c )e dx C) e ( x de c e C)0 03 3xe 33 x x 2 x ( x e 3 e x dx ) c Ce3 3x xx x 2 x x x 2 x xe e x dx c0 Ce e (e x 2 e xdx ) c0 Ce3 33x 32 x x x x x 2e (e x e ) c Ce3x 32 x x 2x c Ce .1方法三：作为可降阶的二阶方程, 令y P , 则y P , 方程化为 2P P x , 这是一阶线性非齐次微分方程, 可直接利用通解公式求解. 通解为x 2 x x 2 x x xP e (c x e dx) e (c x e 2xe 2e )0 0x 2c e x 2x 2.再积分得3x x2y c c e x2x.3【相关知识点】 1. 二阶线性非齐次方程解的结构：设y x 是二阶线性非齐次方程*( )* ( )y P(x)y Q( x)y f (x) 的一个特解. Y( x) 是与之对应的齐次方程y P(x)y Q( x)y 0 的通解, 则*y Y( x) y (x) 是非齐次方程的通解.3. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x) , 可用特征方程法求解：即y P(x) y Q(x)y 0 中的P(x)、Q( x) 均是常数, 方程变为y py qy 0 . 其特征方程写为r 2 pr q 0 , 在复数域内解出两个特征根r1,r2 ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根r1,r2 , 则通解为rx r xy C1e 1 C2e2 ;(2) 两个相等的实数根r r , 则通解为1 2rxy C1 C2x e 1 ;(3) 一对共轭复根r i , 则通解为1,2xy e C1 cos x C2 sin x .其中C C1, 2为常数.4. 对于求解二阶线性非齐次方程y P( x) y Q( x) y f (x) 的一个特解y* (x) , 可用待定超级狩猎者系数法, 有结论如下：x如果f (x) P ( x)e ,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如m y x x Q x e * ( ) k ( ) xm的特解, 其中Q ( x) 是与P m (x) 相同次数的多项式, 而k 按不是特征方程的根、是特征方m程的单根或是特征方程的重根依次取0、1 或2.x如果f (x) e [ P(x)cos x P ( x)sin x] , 则二阶常系数非齐次线性微分方程l ny p(x) y q( x) y f (x) 的特解可设为* k x[ (1) ( )cos (2) ( )sin ]y x e R x x R x x ,m m其中R x 与(1) ( )m R x 是m次多项式, m max l,n, 而k 按i ( 或i ) 不是特征(2) ( )m方程的根、或是特征方程的单根依次取为0 或1.5. 一阶线性非齐次方程y P(x)y Q( x) 的通解为P(x) dx P( x) dxy e Q x e dx C , 其中C 为任意常数.( )(6) 【解析】建立坐标系, 底面椭圆方程为2 2x y2 2 1.a b方法一：以垂直于y 轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形,其中一条直角边长为a2 2 x b yb,另一条直角边长为故截面面积为ab2 2 tanb y,21 a2 2S( y) (b y ) tan22 b.楔形体的体积为2b a b 22 2 2.V 2 S( y)dy tan (b y )dy a b tan20 0 3b方法二：以垂直于x 轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形,其中一条边长为b2 2 2y 2 a xa,另一条边长为x tan ,故截面面积为b2 2S(x) 2 x a x tana, 楔形体的体积为超级狩猎者a 2b a 22 2 2V 2 S(x )dx tan x a x dx a b t an0 0 3a.四、( 本题满分8 分)【解析】方法一：分部积分法.arctan x arctan x arctan xdx dx dx2 2 2 2x (1 x ) x 1 x1arctan xd ( ) arctan xd (arctan x)x分部1dx 12arctan x arctan x2x x(1 x ) 21 1 x 12arctan x ( )dx arctan x2x x 1 x 21 1 12 2 arctan x ln x ln(1 x ) arctan x C x 2 2.方法二：换元法与分部积分法结合.令arctan x t , 则x tant, dx sec2 tdt,2arctanx t sec t t2dx dt dt t cot tdt 2 22 2 2x (1 x ) tan t(1 tan t) tan t2t (csc t 1)dt td ( cot t) tdt分部1 t cot t cot dt t22cos x 1t cot t dt tsin x 221 1t cot t d sin t tsin t 2212t cot t ln sin t t C .2五、( 本题满分8 分)【分析】为了正确写出函数 f (x) 的反函数g( x) , 并快捷地判断出函数g( x) 的连续性、可导性, 须知道如下关于反函数的有关性质.【相关知识点】反函数的性质：①若函数 f (x) 是单调且连续的, 则反函数g(x) 有相同的单调性且也是连续的；②函数 f ( x) 的值域即为反函数g(x) 的定义域；③g (x)1f ( x),故函数 f (x) 的不可导点和使 f (x) 0 的点x 对应的值f ( x) 均为g(x) 的不可导点.超级狩猎者【解析】(1) 由题设, 函数 f (x) 的反函数为1 x, x 1,23g(x) x, 1 x 8,x 16, x 8.12(2) 方法一：考察 f (x) 的连续性与导函数. 注意21 2x , x 1,3f ( x) x , 1 x 2,12x 16, x 2在( , 1),( 1,2),(2, ) 区间上 f (x) 分别与初等函数相同, 故连续. 在x 1,x 2处分别左、右连续, 故连续. 易求得4x, x 1,2f (x) 3x , 1 x 2, f ( 1) 4, f ( 1) 3,12, x 2f (2) 12, f (2) 12 f (2) 12.由于函数 f (x) 在( , ) 内单调上升且连续, 故函数g( x) 在( , ) 上单调且连续, 没有间断点.由于仅有x 0 时 f (x) 0 且f (0) 0, 故x 0 是g( x) 的不可导点；仅有x 1 是f (x) 的不可导点( 左、右导数, 但不相等), 因此g(x) 在f ( 1) 1 处不可导.方法二：直接考察g (x) 的连续性与可导性. 注意1 x, x 1,23g(x) x, 1 x 8,x 16, x 8,12在( , 1),( 1,8),(8, ) 区间上g(x) 分别与初等函数相同, 故连续. 在x 1,x 8处分别左、右连续, 故连续, 即g (x) 在( , ) 连续, 没有间断点.g(x) 在( , 1),( 1,8),(8, ) 内分别与初等函数相同, 这些初等函数只有3x在超级狩猎者x 0不可导, 其余均可导. 在x 1处,1 x 1 13g ( 1) , g ( 1) x ,2 4 3x 1 x 1g ( 1) 不. 在x 8处 ,1 x 16 1 3g (8) x , g (8) ,12 12 12 x 8x 8g (8) .因此, g (x) 在( , ) 内仅有x 0 与x 1两个不可导点.六、( 本题满分8 分)【解析】方程两边对x求导, 得2 23y y 2yy xy y x 0,(3 y 2y x)y y x 0. ①令y 0,得y x ,代入原方程得 3 22x x 1 0 , 解之得唯一驻点x 1；对①两边再求导又得2 2(3y 2y x) y (3y 2y x)x y y 1 0. ②以x y 1,y 0代入②得12y 1 0, y 0,x 12x 1是极小点.【相关知识点】 1. 驻点：通常称导数等于零的点为函数的驻点( 或稳定点, 临界点).6. 函数在驻点处取得极大值或极小值的判定定理.当函数 f ( x) 在驻点处的二阶导数存在且不为零时, 可以利用下述定理来判定 f (x) 在驻点处取得极大值还是极小值.定理：设函数 f (x) 在x处具有二阶导数且0 f (x ) 0, f (x ) 0, 那么0 0(1) 当f(x ) 0时, 函数 f (x)在0 x 处取得极大值；0(2) 当f(x ) 0时, 函数 f (x) 在x0 处取得极小值.七、( 本题满分8 分)【解析】首先证明( a,b) , 使 f ( ) 0 ：超级狩猎者方法一：用零点定理. 主要是要证明 f (x) 在(a,b)有正值点与负值点. 不妨设 f (a) 0, f (b) 0 .由f (x) f (a)lim f (a) f (a) 0x ax a与极限局部保号性,知在x a的某右邻域,f ( x) f (a)x a0,从而 f (x) 0 ,因而x1,b x1 a, f (x1) 0 ；类似地,由f (b) 0 可证x2,x1 x2 b, f (x2) 0.由零点定理, (x1, x2 ) ( a,b) , 使f ( ) 0 .方法二：反证法. 假设在(a, b) 内f (x) 0 , 则由 f (x) 的连续性可得 f (x) 0 , 或 f (x) 0 , 不妨设 f (x) 0 . 由导数定义与极限局部保号性,f (x) f (a) f ( x)f (a) f (a) lim lim 0x a x ax a x a,f (x) f (b) f (x)f (b) f (b) lim lim 0x b x b x b x b,从而 f (a) f (b) 0 , 与 f (a) f (b) 0 矛盾.其次, 证明(a,b) , f ( ) 0 ：由于 f (a) f ( ) f (b) 0, 根据罗尔定理,1 (a, ),2 ( ,b) , 使f ( 1) f ( 2 ) 0；又由罗尔定理,( , ) ( a,b), f ( ) 0 .1 2注：由f(x ) 0可得：在(x0 ,x0), f (x) f ( x0 ) ；在(x0, x0 ), f (x) f(x0) . 注意由f(x ) 0得不到f (x) 在0 (x ,x) 单调增的结果！0 0【相关知识点】 1. 零点定理：设函数 f (x) 在闭区间[a, b] 上连续,且f (a) 与 f (b) 异号(即f (a) f (b) 0 ),那么在开区间(a, b) 内至少有一点,使f ( ) 0 .2．函数极限的局部保号性定理：如果l im f (x) A ,且A 0 (或A 0),那么存在常数0 ,x x使得当0x x 时,有 f ( x) 0 (或 f (x) 0).7. 函数极限局部保号性定理的推论：如果在x0 的某去心邻域内 f ( x) 0( 或 f (x) 0), 而且l im f (x) A,那么 A 0(或A 0).x x。